1923. No. I. ÜBER DIE REDUZIBILITÄT VON ALGRBRAISCHEX GLEICHfNGEN. I3 



Wird daher 



/>"-' n, =a,~ b. 



i, 



gesetzt, so gehen die Kongruenzen (4) in 



(mod />l 



über. Die Determinante von diesen Kongruenzen in den Unbekannten 5^ und 

 /r ist, wie man leicht sieht, gleich der Resultante N von ^„_i<.vl und 

 f'fi—\ l.vl. Nun ist aber 



^^,_ 1 (x)=g (x) , /i^^ _ 1 ix) = // Ixl (mod /)l 



und folglich nach den Voraussetzungen R nicht durch /> teilbar. Die Sr 

 und fr werden daher unter den Zahlen 0, 1, 2, • • ■ p — 1 eindeutig be- 

 stimmt. Man sieht auch ein, wie man aus diesen Ausführungen die Ein- 

 deutigkeit der Zerlegung (31 beweisen kann. Man kann folglich für alle 

 Exponenten a Polynome g^^ ix) und /i^^ ix) bestimmen, so dafs /ix) für den 

 Modul />" reduzibel wird. Mit den Bezeichnungen Hensel's' würde man 

 daher sagen, dafe /ix) im Bereiche der p-adisclioi Zahlen reduzibel sei. 

 Dies fällt aber, wie schon früher bemerkt, nicht mit der Reduzibilität im 

 rationalen Bereiche zusammen. 



Hat daher /"(.vi für den Modul p eine Zerlegung ( 1 1 und ist p kein 

 Teiler von D, so ergibt sich, dafs /(xl im p-adischen Bereiche reduzibel wird, 

 und die irreduziblen Faktoren werden von den Graden n^ ,//.,,••• ;/$ sein. 



Wenn dagegen p ein Diskriminantenteiler ist, wird die Zerlegung für 

 Potenzen von p nicht mehr eindeutig. f{x\ wird im />-adischen Bereiche 

 reduzibel und wird Faktoren von den Graden 



}i^ q . ;/., r., , • • -, Hs c s 

 haben, aber diese können möglicherweise reduzibel oder irreduzibel sein. 



' K. Henkel : Theorie der als:ebraischen Zahlen. 



