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Die Irreduz>bilitätssätze, die in (I) erwähnt sind, beruhen alle auf dieser 

 Ausnahmestellung der Diskriminantenteiler, wie auch aus den folgenden Un- 

 tersuchungen (III) leicht zu sehen ist, und wenn man daher die Reduzibilität 

 für Moduln, welche Potenzen von Diskriminantenteilein sind, allgemein un- 

 tersucht, wird es möglich, noch weit allgemeinere Sätze aufzustellen. 



§ 3. Reduzibilität für Potenzen von Diskriminantenteilern. 



Ich will im Abschnitt III einige allgemeinere Untersuchungen über 

 die Reduzibilität für Potenzen von Diskriminantenteilern durchführen. Hier 

 werde ich nur einige spezielle Sätze aufstellen, die oft angewandt werden 

 können und worin die Sätze von Schönemaxn und Bauer als Fälle 

 eingehen. 



Wenn für fix) eine Zerlegung (1) bestimmt ist, kann man 



s 



fix) = Ylß ixfi + /' ■ M(x) (5) 



1=1 



setzen, wo a ^ 1 sein muß. Die Zerlegungen von /Ix) (mod p^), ß '^ a sind 

 dann einfach bestimmbar, hier soll die Reduzibilität für den Modul /""^ 

 untersucht werden, indem vorausgesetzt wird, dafa Mix) (mod p) durch 

 keine der Primfunktionen /i ix) teilbar ist. 

 Der Kürze wegen soll im folgenden 



n{x) = l'lfi{x)^i (6) 



i — \ 



gesetzt werden. Soll fix) (mod f'^^'^^) reduzibel sein, so mufs man 



/ix\ = Aix)-Bix) (mod/)""^^) 

 haben und folglich nach (5) und (6) 



nix) + /)" • M ix) + f^ N (x) = A ix) ■ B ix), (7) 



wo ^ (x), B ix) und Nix) ganzzahlige Polynome von höchstens (« — l)-tem 

 Grade sind. Weil nach § 2 fix) (mod /)"~h immer einen Faktor vom 

 Grade inciii^ 1, 2 • • • 5) haben muf3, der (mod />)=/• (x)^' wird, kann 

 man, ohne der Allgemeinheit zu schaden, 



A ix) =/1 (x)' (mod p) (8) 



annehmen, wo 1 ^ ^ ^ <'i ist. 



