1923. No. I. CbER die REDLZIBILITÄT VON ALGEHRAISCHEN GI.EICHrNGKN'. I :^ 



Sei jetzt ß eine Wurzel von ^ (x) = und Piif) der durch ß er- 

 zeugte Körper. Aus 17) folgt dann 



II{>)) = (mod p") (9) 



Nehmen wir an, 



sei die Zerlegung von p in Primidcalfaktoren im Körper Pid). Aus (9) 

 folgt dann 



//((91 = (mod P/''^/> (/= 1,2,- --k); 

 es mufà aber 



Hiß) 3= (mod p/' ^f + ') (/= 1 , 2, • • • X') . (10) 



sein. Denn weil M (x) (mod />) durch keine der Primfunktionen /i (x) teilbar 

 ist, kann man solche Polynome C ix] und Dix) derart bestimmen, daß 



R ^ C (xl • //(xl + D (xl • .l/(x) (11) 



wird, wo R die Resultante von Mix) und //(x) und folglich nicht durch 

 p teilbar ist. Wenn jetzt (10) für ein / erfüllt wäre, müfste nach (7) 



M{ß) = (mod p/-) 



und folglich nach (llj R durch p/ und auch durch p teilbar sein, was 

 unmöglich ist. 

 Sei jetzt 



/■ id) = p,^' • p/-^ ■ ■ • p.^A- • r, (/ = 1 , 2, • • • 5) 



die Zerlegung von /lid) in PiO), wo T durch keines der Ideale p teil- 

 bar ist. 



Dann kann nicht 



/• id) =/, id) = o (med P/) /■ :^ J 



sein, denn daraus würde wie früher folgen, daß die Resultante von /i ix) 

 und /i ix) durch p/ und folglich durch p teilbar sein müßte, was gegen die 

 Voraussetzungen ist. 



Ein Primideal P/ kann daher nur in einem einzigen /j- («9) aufgehen, und 

 weil nach (8) jedes Primideal, das in p aufgeht, auch ein Teiler von /^ ii')) 

 sain muß, folgt daß alle 



/ i&) (/ = 2, 3, • • • s), 



zu p relativ prim werden und 



