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eine Zerlegung von f^ [0] wird. Aus (7) sieht man dann, dafà 



üi • i\ = a • ti (/ = \, 2, • ■ • k), 

 und wenn a und c den größten gemeinsamen Faktor h.^ besitzen, kann man 



fi = J-ßi (12) 



setzen, wo ßi eine ganze Zahl ist. 



Es soll jetzt gezeigt werden, daf3 der Grad eines Ideals p,- durch 

 11^ teilbar sein muß. Nehmen wir an, der Grad von p,- sei /]•. Dann ge- 

 nügen alle ganzen Zahlen (o des Körpers P{d) der Kongruenz 



o)P^' — o) = (mod p,), (13) 



Nennt man Tl^ix) das Produkt aller Primfunktionen F [x], deren Grade 

 Teiler von ß sind, so ist' 



n^{x) = xP-^' — X (mod/), 

 und weil p,- ein Teiler von p ist, wird nach (13) 



/7i id) = dP^' ~ß = (mod p,) . (14) 



Es mufs folglich unter den Primfunktionen F (x) eine derart geben, daß 



F{ß) = (mod p,) (15) 



wird. Dann ist aber auch 



F(x) = (modd /), /i ix)) ( 1 6) 



Denn wenn (16) nicht erfüllt wäre, hätte man solche Polynome f/ (x) 

 und Y' (.v) bestimmen können, daß 



F ix) • (p (x) + /i ix) ■ ?/' ix) = 1 (mod p) 

 wäre. Weil 



/Jß) = 0, p = (mod p,) 

 ist, folgt aber daraus 



F{d)-(p{d)= 1 (mod p,), 



und (15) kann nicht erfüllt sein. Aus (16) folgt jetzt F (x) = f^ix), weil 

 F [x] eine Primfunktion war, und folglich muß w^ ein Teiler von /t sein. 



• Siehe z. B. Dedekind : Abriß einer Theorie der höheren Kongruenzen. Journ. f. Math. 

 54, Seite 22. 



