1923- No. I. ÜBER DIE REDfZIBILITÄT VON ALGEBRAISCHEN GLEICHLNGEN. 17 



Man hat daher, wenn man zu den Normen übergeht, 



wo h eine ganze Zahl ist. 

 Weiter ist nach (12) 



A/>=/. =p 



wo k^ eine ganze Zahl und unter den Zahlen \,2, • ■ b^ enthalten ist. 

 Folglich ist bewiesen : 

 Satz I. IVenn 



s 



fix) = Y[fi ^Xfi - /.'' • .1/1. VI. 



der Grad von M \x\ kleiner als n und Mix\ \niod p\ durch keine der Primfunk- 

 tionen fi\x\ teilbar ist, müssen die irreduziblen Faktoren von fix) {mod p^~^) 

 von den Graden 



ei 

 ki • -r ' "i il = l, 2, ■ ■ • s) 



Oi 



sein, wo bi der größte gemeinsame Faktor von r, und a ist und k, eine der 

 Zahlen 1, 2, •• ô, bedeutet. 



Wenn ei (/ = 1, 2, • • s) zu a relativ prim ist, werden folglich die 

 Faktoren von fix) (mod p^~ ) von den Graden //, • et (/ = 1, 2, • • 5l. Für 

 ^ = 1 erhält man: 



Sats 2. JVenn 



fix) = ffixf - p'^ ■ 3/i.\i. 



der Grad von J/(x) kleiner als m • c, wo m der Grad der Primfunk- 

 tion cf (x) ist, und M \x\ (mod p) nicht durch ç" 1.x) feilbar ist, werden die 



Faktoren von /"(,v) {mod p"~ ) von den Graden k ■ - ■ m, wo k eine der Zahlen 



b 



1,2, --b und b der größte gemeinsame Faktor von e und a ist. Wenn e 



zu a relativ prim ist, ivird f\x) {mod p^" \ irredusibel. 



Natürlich sind in diesen Sätzen Irreduzibilitätssätze enthalten. So 

 ergibt sich z. B. aus dem Satze 1 : 



Satz j. JJ'enn 



/ixi = J"]/;(.t)^: -^ p^'-Mix) 



ist, wo M{x\ den Bedingungen des Satzes 1 genügt, kann fix) nur Faktoren 

 vom Grade r haben, -wenn r von der Form 



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