1923. No. I. ÜBER DIE REDL-ZIBILITÄT VON ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN. I9 



VVciUl ill 



f(x) = x" + rtj .x" 



+ 



+ Qn-lX + an 



alle Koeffniciitcii (lurch cine Zahl I = p^ "' • /)./'* • • /)/''■ teilbar sind, — aber 



zu l relativ pri)ii ist, ivird f[x) irrcduzibcl, icenit die Zahlen ;/, a^, a., , • • «r 

 keinen gemeinsamen Teiler besitzen. JJ'enn sie den größten gemeinsamen 



Faktor b haben, -werden die Faktoren von /(x\ von den Graden k-— ico k 



b 

 eine der Zahle/! \, 2, ■ ■ b ist. 



Die Richtigkeit des Satzes sieht man aus Satz 5 ein, wenn 9- (xl = x 

 gesetzt wird. Den ersten Teil hätte man auch aus dem Satze von Perron 

 (I, § 31 ableiten können. 



§ 4. Reduzibilität im rationalen Bereiche. 



Es ist schon gezeigt, wie man die Faktoren von /Ix) für einen Primzahl- 

 modul />" bestimmen kann. Wie früher bemerkt worden ist, braucht aber 

 /(x) im rationalen Bereiche nicht reduzibel zu sein, selbst wenn dies 

 für alle Moduln />" [a = 1, 2, • • •) der Fall ist. Es ist aber wichtig, dafe, 

 wenn alle Koeffizienten in den Faktoren von /(x) (mod /)'^') unter einer von 

 den Koeffizienten in /(x) bestimmten Grenze bleiben, /(xl notwendig redu- 

 zibel sein muß, und, wenn sie über diese Grenze hinauskommen '(d. h. die 

 kleinsten Reste (mod/)")/(x) irreduzibel wird. 



Nehmen wir an, eine Zerlegung 



/ (xl = ha (xl • gu (xl (mod /') 

 sei für alle a möglich, wo 



g,,(x) = x"" + ^^•«'x'"-^ 

 //«(xl = x' + q<«'x'-' 



+ b, 



(a) 



m I ^ 



+ ;;/ 



>', 



Die Konsrruenzen 



an r= bm Cl 



an~\ = bm-\ • C[ + bm • 0~1 



(mod p"\ 



17) 



a^ :=b^ + q 



haben dann für alle a Lösungen. 



Wenn /\x) im rationalen Bereiche reduzibel sein soll, müssen die 

 Koeffizienten /;,'"' und c,'^' unter einer bestimmten Grenze bleiben. Es sei 

 nämlich A eine obere Grenze für die absoluten Werte der Wurzeln der 



