1923- ^O. I. ÜBER DIE REDUZIBILITÄT VON ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN. 21 



III. Aufstellung von Irreduzibilitätssätzen. 



§ I. Entwickelungen {/», 7 (xl). 



Wie schon früher bemerkt worden ist, beruhen alle in I behandelten 

 Irreduzibilitätssätze auf der Ausnahmestellung der Diskriminantenteiler in 

 Bezug auf die Reduzibilität des Polynoms für Moduln, die Potenzen von 

 solchen Primzahlen sind. Hier soll speziell dieser Fall behandelt werden, 

 und dadurch kann man Irreduzibilitätssätze folgern, die alle früheren Irre- 

 duzibilitätssätze (1) als spezielle Fälle enthalten. 



Nehmen wir an, 9 Ix) sei eine Primfunktion (mod />! vom Grade ;;/, 

 /(x) soll (mod p) durch 7- (xl teilbar sein. Man kann dann 



/(x) = 9- (x)" O (X) -^ p- M (X) ( 1 ) 



schreiben, wo Q (x) nicht (mod p\ durch ç (x) teilbar ist. 



fix] soll jetzt nach Potenzen von q~ [x] entwickelt werden. Dann wird 



s 



f{x) = '^Ai-Qi{x)-ff{xi (2) 



1=0 



in der Weise, dafa alle Polynome O,- (x) höchstens vom Grade /;/ — 1 sind. 

 Die Koeffizienten Ai sind alle ganze Zahlen, und sie sollen in der Weise 

 gewählt werden, dafa, wenn O, (xi nicht verschwindet, dieses Polynom primi- 

 tiv sein soli. Eine solche Entwicklung ist, wie man leicht sehen wird, 

 eindeutig und durch wiederholte Division mit Potenzen von q? [x\ ausführbar. 



Die Zahl 5 ist durch , 



n 



s ^ — 



/11 



bestimmt. 



Aus ( 1 ) sieht man ein, data 



As = ^5-1 = • • • = As-e^\ = (mod p) 

 sein mufa. Man kann daher allgemein 



ji- = p^i . Oi (/ = 1 , 2, • • • s), Gs = Q 

 annehmen, und 121 nimmt die Form 



/{x)=^ai-Oi{x)-p"i-cf{x\' 



(3) 



an, wo üi nicht durch p teilbar ist, wenn «, + 0. Im Folgenden soll eine 

 Entwickelung von der Form (3) eine Eutivickclnng (/>, <r W) genannt werden. 



