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ist, WO ak-p"-^ so gewählt wird, dals Qk{x) primitiv ist, und a^ derart, dafe 

 (7t nicht durch p teilbar ist, so wird 



s 



fix) = Yiak-Qkix)-/'k.cfixf 



k = 



die Entwickelung {p, ff ix)) von fix). 



§ 4. Das Polyg:n eines Pr:dukts. 



Es soll jetzt das Polygon von 



/{x) = gix)- /i{x) 



bestimmt werden, wenn die Polygone von g (x) und // ix) {p, cp ix]) ge- 

 geben sind. 



Es sollen aber, ehe diese Aufgabe behandelt wird, einige Bemerkungen 

 über Polygone (/>, (p ix)) überhaupt gemacht werden. 



Sei 



V ix) = 2 at Oi ix) ■ p^i ■ (p (a:)"' (8) 



ein ganzzahhges Polynom. Hier soll wie früher O,- ix) primitiv und von 

 einem Grade kleiner als ///, a, nicht durch p teilbar sein. Diese Summe 

 (8) soll aber nicht geordnet sein, d. h. sie braucht nicht eine Entwickelung 

 (p, ff ix)) für ip ix) zu sein, rp ix) kann aus allen Gliedern 



ai/'i- Oiix)-(pix)^i (9) 



bestehen, wo //, und «,- alle positiven ganzzahligen Werte annehmen kann, 

 wo natürlich ;/, • /;/ ^ ;/ ist, wenn yj ix) vom Grade n ist. Es kann auch 

 sehr wohl eintreffen, dafa es mehrere Glieder (9) gibt, für welche sowohl 

 //,• als «, gleich sind. 



Zeichnet man jetzt alle Punkte is — //,-, a,) in ein Koordinatensystem 



ein, wo 5 = — ist, so kann man ein NEwxoN'sches Polygon P, zu diesen 



Punkten konstruieren. Dieses Polygon braucht aber nicht mit dem Poly- 

 gone P zu Î/' ix) (p, (f ix)) zusammenfallen, wie leicht zu zeigen ist. 



Um aus (8) eine Entwickelung von y' ix) {p, 9" (a:)) zu erhalten, kann 

 man alle Glieder (9) sammeln, für welche iii dieselbe Zahl ist. Ist a , der 

 kleinste Exponent für /, der in diesen Gliedern vorkommt, so wird von 

 den Punkten is — «,, a,) für bestimmte «,■ nur (5 — «,-, a',) für die Kon- 

 struktion von P^ von Bedeutung, und man sieht, daß P nicht unter /\ fallen 

 kann. Denn ist is — ;/,-, a,) ein Eckpunkt von Pj^ , so kann es eintreffen, dafe 

 es in (/' ix) mehrere Glieder gibt, für welche //,■ und a,- dieselben smd, und 



