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ØYSTEIN ORE. M.-N. Kl. 



§ 5, Hauptpolygone. 



Nach § 4 besteht also das Polygon zu einem Produkte /fx) = gix) ■ /i ix) 

 aus den Polygonen von g{x) und /i ix), indem die Seiten nach steigender 

 Neigung geordnet werden, wozu die Gerade — {\, Ol kommen kann. Für 

 die folgenden Untersuchungen werden nur die Teile der Polygone von Be- 

 deutung, welche über der x-Achse liegen. Dieser Teil eines Polygons soll 

 Haiiptpolygon genannt werden. Man bemerkt dann : 



Das Hauptpolygon für ein Produkt ist ans dm Seiten der Haupt- 

 polygone der Faktoren nach steigender Neigung zusammengesetzt. 



Es sei jetzt /(xl ein beliebiges Polynom von der Form (l). Man kann 

 dann, wie früher gezeigt worden ist, immer für jeden Primzahlpotenz- 

 modul /)" solche Polynome O« [x] und ^« [x) bestimmen, dafe 



f{x) = Da [x] ■ 0a (x) (mod /') 

 wird, folglich 



/ix) = Oa ix) • 0a ix) +p''-M ix) , (11) 



wo Mix) ein ganzzahliges Polynom von höchstens (;/ — I)-tem Grade ist und 



0«(a-| = 9 ixf (mod/)). 



Ist jetzt (3) eine Entwicklung (/>, ff (x)) für'/(x), so wird das zu/(x) 

 gehörige Polygon im Punkte (s, a^) seinen Endpunkt haben. Man sieht daher, 

 wenn man in (11) a > «o wählt, wird das Glied />"• il/ (x) ohne Bedeutung 

 für das Polygon zu /{x) (/>, ç' (x)). Das Polygon zu Oa ix) wird aus einer 

 Geraden bestehen, welche mit der x-Achse zusammenfallen muß, und das 

 Polygon zu 0a ix) wird daher aus dem Hauptpolygone von /{x) bestehen. 



Wenn jetzt ø« (x) für einen Modul />", a >> Qq, reduzibel sein soll, müssen 

 die Seiten des Polygons eines Faktors aus Stücken des Hauptpolygones 

 von /ix) zusammengesetzt sein, und zwar mit derselben Neigung. (Im 

 Folgenden wird die Bezeichnung des § 2 angewandt.) 



Die Neigung (-/ r einer Seite Sr sei durch 



llr Xr 



bestimmt, wo y.r und /r keinen gemeinsamen Faktor besitzen. Wenn hr zu 

 Ir relativ prim ist, gibt es außer den Eckpunkten von Sr keine Gitterpunkte 

 auf dieser Seite. Wenn daher das Polygon zu einem Polynome i/^ [x] aus 

 dem Hauptpolygone von f\x) zusammengesetzt sein soll, muß darin entweder 

 ^r fehlen oder das Polygon mufe die ganze Seite enthalten. 



Wenn dagegen hr und h einen gemeinsamen Faktor br haben, also 



hr = Ör ■ y.r, Ir = Or ■ År, 



