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/{x) = rp ix) (mod p), 



kaiiii f [x] nicht mehr Faktoren haben, als es Gitterpunkte auf dem Polygone 

 zu f{x] {p, q [x)) gibt. Daim soll bei der Berechnung der Anfangspunkt 

 nicht mitgerechnet iverden. 



Aus diesem einfachen Satze folgt sogleich die Richtigkeit von Schöne- 

 mann und Bauer, indem man bemerkt, daß das Polygon in diesem Falle 

 eine Gerade ist. 



Alle Fälle, worin das Polygon eine Gerade ist, sind in dem folgenden 

 Satze enthalten : 



Wenn 



ist, und 



f{x) = (7o • (f [xf + ^1 • Ol ix) ■ ff (xf + • ■ + an- Qn [x) 



T_ 2r 



n n j. 



'^0 ' P~^ ^2 "= "'2 P~^ • • ■ ein =^ 0.n- p , 



zvo a^^ uiul a„ nicht durch p teilbar sind und 0„ {x} ^ (modd p, q> {x)), wird 

 f(x] nur Faktoren von den Graden 



n 

 m T 



c 



haben, ivo e der größte gemeinsame Faktor von n und r ist und t eine der 

 Zahlen \,2, • • ■ c ist. IVenn c =- 1 ist, wird /{x) irreduzibel. 



In diesem Satze sind natürlich die Sätze von Schönemann und Bauer 

 enthalten. Wenn ç^ (x) = x gesetzt wird, alle Qi {x) Konstanten sind und 

 r zu ;/ relativ prim ist, hat man den Satz von Königsberger. 



Wenn in Satz 1 cp [x) ^^^ x gesetzt wird, folglich alle O,- (x) Konstanten 

 werden, kommen die Resultate von Dumas heraus. 



Wenn man die Reduzibilität eines Polynoms für Moduln, die Potenzen 

 von Diskriminantenteilern sind, untersuchen will, kann man ein Verfahren 

 anwenden, das demjenigen ähnlich ist, das in Kap. II angewandt wurde. 



Es sei cf (x) wie früher eine Primfunktion, die für den Modul p mehr- 

 fach als Faktor in fix) vorkommt, und man konstruiere ein Polygon zu 

 f{x){p, rf{x\). Die Projektionen der Seiten seien 4, 4, • • /^ 



Man kann dann zeigen, daß, wenn 9^ (x) vom ersten Grade ist, f(x) 

 (mod />") (a = 1, 2, • • • •) reduzibel wird und Faktoren von den Graden 

 4 r 4 > ' ■ ^' hat. Möglicherweise kann man diesen Satz für eine beliebige Prim- 

 funktion 99 [x] verallgemeinern. Ich will jedoch hier darauf nicht näher 

 eingehen. 



