1923- ^ÎO- I- L'BER DIE REDL"ZIBILITÄT VOX ALGEBRAISCHEN GI.EICHL'NGEN. 3 I 



IV. Irreduzibilitätskriterien, aus irreduziblen Kongruenzen 

 für Primzahlmoduln hergeleitet. 



§ I. Art der Irreduzibilitätskriterien. 



Wenn man die Reduzibilität eines Polynoms mit Hilfe von Moduln 

 untersuchen will, zerfällt diese Untersuchung nach II in drei Abteilungen. 



Erstens mufe die Zerlegung für irgend einen Primzahlmodul p bestimmt 

 werden, dann mufà man daraus die Faktoren für den Modul />" herleiten, 

 und zuletzt mufs untersucht werden, ob die Koeffizienten der Faktoren unter 

 bestimmten Grenzen bleiben. 



Man sieht, wie die Grade der Faktoren bestimmt werden : 



Erstens durch die Grade der irreduziblen Faktoren hnod />l. 



Zweitens können von diesen Faktoren mehrere in einen irreduziblen 

 Faktor (mod />") zusammenfallen, wenn p Diskriminantenteiler ist. 



Drittens müssen die Faktoren (mod /»") so durch Multiplikation zusammen- 

 gefaf3t werden, dafa die Koeffizienten des Produkts unter einer bestimmten 

 Grenze bleiben. 



Wenn man dieses X'erfahren, um die Reduzibilität von Polynomen zu 

 untersuchen, dazu benutzen will, allgemeine Irreduzibilitätssätze aufzustellen, 

 wird man natürlich dazu geführt, die Sätze in drei Klassen einzuteilen: 



1 . Irreduzibilitätssätze, welche aus der Reduzibilität oder Irreduzibilität 

 für Primzahlmoduln abgeleitet sind. 



2. Sätze, die auf der Ausnahmestellung der Diskriminantenteiler be- 

 ruhen. Die Irüher aufgestellten Sätze sind alle von dieser Art. 



3. Möglicherweise können auch Irreduzibilitätssätze aufgestellt werden, 

 die auf den Größen der Koeffizienten der Faktoren (mod />") beruhen. 



§ 2. Irreduzible Kongruenzen. 



Es soll jetzt gezeigt werden, wie man Irreduzibilitätssätze von der 

 Art 1 aufstellen kann. Solche Sätze sind u. a. von Serret ' bewiesen 

 worden ; ich soll aber hier zeigen, wie man einige allgemeinere Sätze her- 

 leiten kann. Es zeigt sich, daß die Idealtheorie hier ein vorzügliches Werk- 

 zeug bildet. 



Wir wollen erstens eine Kongruenz von der Form 



/(x) = ff [X) — a (mod p) (1) 



untersuchen. Hier soll 



Ind a ~ d 



sein, folglich, wenn g eine primitive Wurzel der Kongruenz 



' Serret: Cours d'Algèbre supérieure. Sect. III, Chapt. III. 



