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Wenn hier 7 {x) = x gesetzt wird, kann man natürlich wie früher 

 einen spezielleren Satz erhalten, der für ein Polynom /ix) gilt, wo alle 

 Koeffiizenten aulaer dem letzten durch eine Primzahl teilbar sind. 



§ 3. Andere Art von irreduziblen Kongruenzen. 



Nehmen wir /ix) von der Form 



/(x) = (f {x)P — q- ix) + a (mod p) (12) 



an, wo a nicht durch p teilbar ist. Es soll untersucht werden, ob fix) 

 (mod/)) durch Primfunktionen von einem Grade / • / teilbar sein kann, wo 

 / eine ganze Zahl ist. 

 Wenn 



/{x) = Aix)- Bix) (mod/)) 



ist, wo A\x) eine Primfunktion vom Grade /•/ sein soll, folgt aus (12) 



ff {x)P — (f ix] + a = A (x) ■ B ix) (mod />). (13) 



Es sei nun wie früher ß eine Wurzel von A (x) = und P(/>) der ent- 

 sprechende Körper ; die Primzahl /> soll durch das Primideal p teilbar sein. 

 Aus (13) folgt dann 



(f' {ß)P* — cf iß) + a = (mod p). (1 4) 



Wenn diese Kongruenz zur p -ten Potenz erhoben wird, ergibt sich daraus 

 die neue Kongruenz 



oder nach (14) 

 Ebenso erhält man 



oder allgemein 



W^enn daher 



rp{ü)P^' = q {d)P* — a (mod p) 



q (ß)P^* = 7 \t)) — 2rr(mod p). 



q'[ß)P^' = 7 (//)— 3 a (mod p) 



(f {ß)P' ' ' = q ( ß) — i a (mod p) . (15) 



f/ {ß\P^'' = 7 iß) (mod p) 



sein soll, folgt aus (15), data / durch p teilbar sein mulä. Es ist daher 

 bewiesen : 



IVeiiH fix] voll der Form 



fix) = rf (x)P — 7 [x) + a (mod p) 



