1923- No. I. ÜBER DIE REDLZIBILITÄT VON ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN. 9 



So hat z. B. 



f{x\ = .\^ — 6 A--* - 30 X- — 36 X - 3>Q 

 in Bezug auf die Primzahl 3 ein Polygon wie Fig. 3. 







fig. 3- 



Hier ist 



tg 9i = J. tg Ui =7. 

 und f\x) kann folglich nur Faktoren von den Graden 4 und 2 haben. 



§ 5. Über den Satz von Schönemann. 



Alle Sätze, die bis jetzt behandelt worden sind, haben ihren Ursprung 

 in dem Satze von Eisenstein und enthalten auch diesen als Spezialfall. 

 Wie ich aber schon im Anfang bemerkt habe, ist der Satz von Eisenstein 

 ein sehr spezieller Fall von einem Satze von Schönemann. 



Wenn die Anwendung von XEWTON'schen Polygonen irgend eine Ent- 

 scheidung über die Grade der Faktoren eines Polynoms geben soll, müssen 

 alle Koefficienten 



an. On- \, . . . a^. 



durch p teilbar sein, wo >' <^ — ist, also sehr speziellen Bedingungen unter- 

 liegen. Nach dem Satze von Schönemann ist es möglich, die Irreduzibilität 

 eines Polynoms auch für viele Fälle zu entscheiden, wo das XEWTON'sche 

 Polygon mit der x-Achse zusammenfällt. 



Es wäre daher natürlich, wenn man auch diesen Satz von Schöne.mann 

 zu verallgemeinem suchte. Dies ist Bauer' (1905) gelungen, indem er bewies: 



Iï\'iin t zu a relativ prim ist, so icird (las Polynom 



/ix) = 7 uV -/»«• .]/(xl 

 irreduzibcl. 



Dabei ist vorausgesetzt, wie in dem Satze von Schönemann, da6 Mix) 

 nicht (mod. />! durch die Primfunktion q- ix) (mod. p) teilbar ist. Der Grad 

 von -V(.Y) soll kleiner als ;;/ • / sein, wo m den Grad von 9 (x) angibt. 



' M. Baler: Verallgemeinerung eines Satzes von Schöne.mann. Joum. f. Math. 128. 



