1923- ^«'0. I. ÜBER DIE REDLZIBILITÄT VON ALGEBRAISCHEN GLEICHUNGEN. 7 



Primideale p ersetzt werden. [Eisenstein ' hat selbst seinen Satz für den 

 Körper R () — l) bewiesen.] Ebenda ist gezeigt worden, data der Satz 

 von Perron noch verschärft werden kann : 

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1. 2. 



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und a, durch keine der Primzahlen p teilbar ist, ioird /l.xl irreduzibel, 

 wenn die Zahlen n, >\, ;., . . . n keinen gemeinsamen Teiler besitzen. 



Dabei bedeutet / die auf / nächst folgende gröfsere ganze Zahl und 

 I = /, wenn / eine ganze Zahl ist. 



Es ist auch zu bemerken, dafa, wenn die Zahlen //. r^. ;-._, . . . n einen 

 gröfeten gemeinsamen Faktor e besitzen. /I.v» nur Faktoren von Graden 



r — haben kann, wo v eine der Zahlen 1.2 . . . e ist. 

 e 



§ 4. Anwendung von Nev^ton'schen Polygonen. 



In /(.x'l können einige der Koeffizienten a i durch eine Primzahl/) teilbar 

 sein. Man kann daher 



ai = p «i • bi 



schreiben, wo bi nicht durch /> teilbar ist. Folglich wird 



Man kann jetzt die Punkte l5, a.-l in ein Koordinatensystem aufzeichnen 

 und das Newton sehe Polygon- dieser Punkte bilden. Dadurch erhalten die 

 Sätze von Eisenstein und Königsberger eine ein- 

 fache geometrische Interpretation. 



Man sieht leicht ein. dafs. wenn ein Polynom 

 die Bedingungen des EiSENSTEiN'schen Satzes er- 

 füllt, das zu/(xl gehörige Polygon eine Gerade wird, 

 die aufeer den Punkten (0, öl und (;/. II keine weitere 

 Gitterpunkte enthält. So hat z. B. 



/lAl = A-ö - 6 A-^ —9a-- 12 A — 3 



in Bezug auf die Primzahl 3 das Polygon Fig. i. 

 f[x) ist nach Eisenstein irrreduzibel. 



' Loc. cit. p. 166. 



2 Man sehe z. B. : Hexsel u. Laxdsberg : Theorie der algebraischen Funktionen. IV Vorl. 



