ØYSTEIN ORE. M.-N. Kl. 



§ 2. Die Sätze von Eisenstein und Schönemann. 



Um so wertvoller sind darum die Sätze, die bloß durch eine Betrach- 

 tung der arithmetischen Eigenschaften der Koeffizienten von dem Polynome 

 f{x) erkennen lassen, ob fi.x) reduzibel sein kann oder nicht. Unter diesen 

 Sätzen ist wohl der Satz von Eisexsteix^, (1850) am bekanntesten: 



Wenn alle Koeffizienten von f (.v) durch eine Primzahl p teilbar sind, 

 ün aber nicht durch p^ teilbar, )uiiß f{x) irrednzibel sein. 



Dieser Satz ist der Keim mehrerer allgemeineren Sätze gewesen, aus 

 denen man auf Grund der Teilbarkeitseigenschaften' der Koeffizienten eines 

 Polynoms sofort eine Entscheidung über die Reduzibilität fällen kann. 



Der Satz von Eisexsteix war aber eigentlich noch früher aufgestellt 

 worden, indem Schöxemaxx^, schon im Jahre 1846 den folgenden Irre- 

 duzibilitätssatz bewiesen hat : 



IVenn 



fix) = Ç (.vi' + p- Mix) 



ist, nntß fix) irrednzibel sein, wenn Mix) nicht iniod. p) durch 7 (.v) teilbar ist. 



Außerdem ist vorausgesetzt, dafs r/ (.v) für den Primzahlmodul/) irre- 

 duzibel ist, und wenn q (.v) vom ;//'''" Grade ist, soll der Grad von M{x) 

 kleiner als nt • / sein. 



Der Beweis dieses Satzes läfat sich so vereinfachen: Ist /(.v) redu- 

 zibel, etwa 



fix) =^(.r)-//(.v), 



so mufa wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung für einen Primzahlmodul 



gix) = (p ix)"- + p-rf^ ix), h ix) = Ç ix)l^ + p-(P2 M, a + ß = t 



sein. Daraus folgt 



<p ixf + p ■ Mix) = [rp ix)'' + p ' cf^ ix)\ [ff f.v)^ + p • Cf., ix)] 

 oder 



p • Mix) =p ■ 9i (.t) • ff Lv)^ + p • Cf.-, ix) • (f ixY^ (mod. />-), 



folglich, weil a ^ 1 , /^ ^ 1 ist, 



M ix) = (modd. p, cp (.vj), 



was gegen die Voraussetzungen ist. Man sieht sogar ein, daft fix) für den 

 Modul p^ irreduzibel wird. 



' Eisenstein: Über die Irreductibilität u. s. w. Journ. f. Math., 39, p. 166. 

 2 Schönemann: Von denjenigen Moduln u. s. w., § 61. Journ. f. Math. 32. 



