JJie logischen Grundbegriffe, die gewöhnlich als nötig für die Begrün- 

 dung der Mathematik angesehen werden (siehe z. B. Principia Mathematica von 

 B. Russell å: A. X. Whitehead), sind erstens die folgenden: Die Begriffe 

 „Aussage" und „Aiissagaifiiiiktiou" von 1, 2 usw. \'eränderlichen, die drei 

 Operationen 1 ) Konjunktion (sprachlich gewöhnlich durch das Wort „und" oder 

 durch die Worte „sowohl — als" ausgedrückt), 2) Disjunktion (gewöhnlich 

 durch die Worte „entweder — oder" ausgedrückt! und 3) Xcgation (durch 

 das Wort „nicht" bezeichnet) und endlich die RussELL-WniTEHEAD'schen 

 Begriffe „always" und „sometimes". Die zwei letzten Begriffe geben uns 

 die Idee der Gültigkeit einer Aussage in allen Fällen, bezw. in mindestens 

 einem Falle. Die Gültigkeit einer Aussage in mindestens einem Falle wird 

 als einen Existenzsatz bezeichnet und wird gewöhnlich durch die Worte 

 „es gibt" ausgedrückt. — Ich will in dieser Abhandlung überall grofse 

 Buchstaben als Symbole für Aussagenfunktionen benutzen, so data also 

 A\x). Bix) . . . Aussagenfunktionen einer \'eränderlichen, .-:/(.v, vi, i> (.v.j') . . . 

 solche von zwei \'eränderlichen usw. bedeuten. Weiter benutze ich die 

 ScHRöDER'schen ' Zeichen für Konjunktion, Disjunktion und Negation, so dafa, 

 wenn A und B Aussagen sind, AB die Aussage „sowohl A als B" , A + B 

 die Aussage „entweder A oder B" und endlich A die \'erneinung von 

 A bedeuten. — Weiter führen aber Russell & Whitehead auch den Be- 

 griff der „deskriptiven Funktion" ein. Eine deskriptive Funktion ist ein 

 Ausdruck, der eine eindeutig bestimmte Bedeutung hat; es ist eine Art 

 funktionaler Eigennamen. Endlich soll es nach Russell & Whitehead nötig 

 sein, allgemein gültige Aussagen als eine Art Funktionalbchauptungen (func- 

 tional assertions) einzuführen. Eine Funktionalbehauptung soll darin bestehen, 

 dafe eine Aussage als gültig in einem unbestimmt gelassenen Falle be- 

 hauptet wird. 



Was ich nun in dieser Abhandlung zu zeigen wünsche ist folgendes: 

 Faßt man die allgemeine)! Sätze der Aritlunetik als Funktionalbehauptungen 

 auf, und basiert man sich auf der rekurrierenden Denkweise, so läßt sich 

 diese IVissenscIiaft in folgerichtiger Jf'eise ohne Anwendung der Russell- 

 IVhitehead'sthen Begriffe „always" und „sometimes" begründen. Dies kann 

 auch so ausgedrückt werden, daß die logische Begründung der Arithmetik 

 ohne Anwendung scheinbarer losrischer \'eränderlichen geschehen kann. 



' E. Schröder : Algebra der Logik, 



