1923- No. 6. BEGRLNDUNG DER ELEMENTAREN ARITHMETIK. 5 



überall gleiches für gleiches setzen kann und mache davon unaufhörlich 

 Gebrauch. 



Die Begriffe „natüriiche Zahl" und „die auf die Zahl ;/ folgende Zahl 

 ;/ — 1" (also die deskriptive Funktion « + II und die rekurrierende Denk- 

 weise werden zu Grunde gelegt.' 



§ 1. 



Die Addition. 



Ich will eine deskriptive Funktion zweier \'eränderlichen a und b ein- 

 führen, die ich durch o — b bezeichne und die Summe von a und b nennen 

 will, indem sie für b = 1 eben die auf a folgende Zahl a — 1 bedeuten 

 soll. Diese Funktion ist also schon für b = 1 für beliebige a als definiert 

 anzusehen. Um sie allgemein zu definieren brauche ich sie dann nur für 

 b + 1 für beliebige a zu definieren, wenn sie schon für b für beliebige a 

 als definiert angenommen wird. Das geschieht durch folgende Definition : 



Df. 1. a - [b ^ l) ^ ia - b\ - l. 



Hierdurch wird also die Summe von a und b — 1 gleich der auf a -^ b 

 folgenden Zahl gesetzt. Ist also die Addition schon definiert für beliebige 

 Werte von a für eine gewisse Zahl b, so ist durch Df. 1 die Addition für 

 beliebige a für b + 1 erklärt und ist somit allgemein definiert. Es ist dies 

 ein typisches Beispiel einer rekurrierenden Definition. 



Satz 1. Das assoziative Gesetz: a — ^b — c) = \a — b\ ^ c. 



Beweis: Der Satz gilt für c = 1 kraft Df. 1. Ich nehme an, dafe er 

 für ein gewisses c für beliebige Werte von a und b gültig ist. Dann mu6 

 für beliebige Werte von a und b 



(a) a - (b - Kc ^ 11) = rt ^ {(b - cl - 1 ), 



da nämlich nach Df. I b - U - W = \b - c\ — \. Nach Df. 1 mu6 aber auch 



(ß) a ~ {\b ^ c\ - \) = Ka - \b - f l) - 1 



sein. Der Annahme nach soll nun a — \b ~ c\ = \a -r b\ -^ c sein, woraus 



(y) (a - (Å - fl) - 1 = (1(7 - b\ - c) ^ 1. 



Nach Df. I haben wir endlich auch 

 \ö\ (If7 - b) - c) - \ =\a - b\ - ((- - 11. 



Aus (al, {^\, (;•) und ((3) folgt 



a - (Ä - (c - II) = l<7 - él - (c -^ 1). 



wodurch der Satz für c -r I für unbestimmt gelassene a und b bewiesen 

 ist. Der Satz gilt also allgemein. Dies ist ein typisches Beispiel eines 

 rekurrierenden Beweises (Beweis durch vollständige Induktion). 



• Der oft umständliche Formalismus der Aussagenfunktionen im folgenden rührt daher, da6 

 diese Abhandlung in Anschluß an die RcsSELL-WHiTEHEAD'schen Arbeiten geschrieben ist. 



