TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Hilfssatz: a + i = I + n. 



Beweis : Der Satz gilt für « = 1 . Ich beweise die Gültigkeit für ^ + 1 , 

 indem die Gültigkeit für a angenommen wird. Wir erhalten in der Tat 



(a + 1) + 1 = (1 + a) + 1 ^= 1 + (a + 1 ) 



kraft der gemachten Annahme und der Definition 1 . Der Satz gilt also 

 allgemein. 



Satz 2. Das kommutative Gesetz: a + b = b + a. 



Beweis: Dem Hilfssatze zufolge gilt dieser Satz für é = 1. Ich nehme 

 an, da6 er für beliebiges a für ein gewisses b richtig ist, und beweise 

 dann die Richtigkeit für ô + 1 für beliebiges a. Dies geschieht so: 



a + {d + l) = (a ^ b) + \ = {b + a) + \ = b + {a + 1) = 

 = b i- (\ + a) =^ \b + \) + a , 



wobei sowohl Satz 1 wie der Hilfssatz angewandt worden sind. Die funk- 

 tionale Behauptung a + b = b + n ist also richtig. 



§ 2. 



Die Relationen <C (kleiner als) und , (grösser als). 



Mit der Addition eng verknüpft sind die Kleiner- und die Gröfaer- 

 relation, durch <C bezw. >> bezeichnet. Da die letztere Relation bloß die 

 Umkehrung der ersteren ist, kommt es nur darauf an, die Relation <C zu 

 definieren. Gewöhnlich geschieht diese Definition mit Hilfe einer schein- 

 baren logischen Veränderlichen, indem man von dem logischen Existenz- 

 begrifife (oder demRussELL-WHiTEHEAn'schen „sometimes") Anwendung macht. 

 Die gewöhnliche Definition hat in der Tat das Aussehen : 



{a<b} -^ Zia + X ^ b), 



X 



wenn man das ScHRÖDER'sche Zeichen der Gültigkeit in mindestens einem 

 Falle (bei Schröder Aussagensummation genannt und durch H bezeichnet) 

 anwendet. In Worten lautet diese Definition so: „a soll dann und nur dann 

 kleiner als b heifaen, weini es eine Zahl x gibt so beschaffen, dafa a + x = b 

 ist". Diese Definition setzt also die Anwendung des logischen Existenz- 

 begriffes oder m. a. W. der scheinbaren \'eränderlichen voraus. Man kann 

 doch das sehr leicht vermeiden, wenn man nämlich die Kleinerrelation 

 rekurrierend definiert. Dies kann in der Tat so geschehen: 



Df. 2. a<\ ist falsch, [a < b + \) = [a < b) + {a = b). 



Es ist leicht zu sehen, dafs dies eine völlig legitime rekurrierende 

 Definition ist; denn zuerst wird ja festgesetzt, wann a <C b gilt, wenn b = 1 

 ist, nämlich nie; und zweitens wird festgesetzt, wann die Relation ■< 



