1923. No. 6. BEGRÜNDL'NG DER ELEMENTAREN ARITHMETIK, 



zwischen einem beliebigen a und einem gewissen d + 1 stattfinden soll, 

 wenn diese Relation schon für /; für beliebige a definiert ist. Wie man 

 sieht, ko»init in dieser Definition kein logisches S-Zeichcn vor. 

 Df. 2K ia > Å) = (^ < a). 



Satz 3. [a < ö) (/; < c) + (a < c), oder wenn man will : (a < /5») + (A <c) 

 + {a<Cc). In Worten lautet der Satz: Aus der gleichzeitigen Gültigkeit 

 von a <^ Ù und ô <C c folgt a <^c. 



Beweis : Der Satz ist für beliebige a und d gültig, wenn c = 1 ; denn 

 nach Df. 2 ist /^ < 1 falsch, d. h. (Z» < 1 ) ist wahr. Ich will deshalb die 

 Richtigkeit des Satzes für c + 1 beweisen, wenn er richtig für c (bei un- 

 bestimmten Werten von a und />) ist. Aus {a <^ b) {6 <C c + 1) folgt nach 

 Df. 2 entweder (a < ö) {b < c) oder la < /;) {b = c). Aus {a < b) (b < c) 

 folgt aber der Annahme nach o<Cc, woraus nach Df. 2 o <lc -\- 1. Aus 

 {a<ib\{b^=c\ folgt natürlich auch a<Cc, woraus wieder a <ic + \. In 

 jedem Falle folgt also « •< c + 1 aus der gleichzeitigen Gültigkeit von a <Cb 

 und b <^c + 1 , so dafe also der Satz auch für beliebige a und /> für c + 1 

 wahr sein mufs. Hierdurch ist Satz 3 bewiesen. 



Df. 3. (/7 ^b) = [a <b]+ [a = b). Df 3'. io ^ Å) = (a > ^) + (a = b). 



Diese Definitionen ebenso wie Df 2' bestehen blofà in der Einführung 

 anderer Bezeichnungen; sie sind deshalb theoretisch überflüssig, was nicht 

 mit den rekurrierenden Definitionen der Fall ist. 



Hilfssatz 1 (zu Satz 4): [a <i b\ + \a + 1 ^b). 



In Worten: Entweder ist a nicht kleiner als b oder a -\- \ ist kleiner 

 oder gleich /;. Es ist aber besser, es so zu sagen : Aus a <ib folgt 

 a + \^b. 



Beweis : Der Satz ist bei unbestimmtem a gültig für /^ = 1 . Ich setze 

 die Richtigkeit des Satzes für beliebiges a für ein gewisses b voraus und 

 beweise dann seine Richtigkeit für beliebiges a für b -\- \. Aus a <i^b -{- \ 

 folgt (Df 2) entweder a <C b, woraus der Annahme zufolge a + 1 < ô, 

 was wieder (Df 21 a + \ ^b + 1 gibt, oder a = b, woraus selbstver- 

 ständlich a + \ = b + \, was (Df 31 rt + 1 ^^ + 1 gibt. Der Satz gilt 

 also für beliebige Werte von a auch für b + 1 und ist somit allgemein gültig. 



Hilfssatz 2 (zu Satz 4). 1 ^ a. 



Beweis : Der Satz gilt für a = \ . Aus der angenommenen Gültigkeit 

 für a, also I ^ a, folgt (Df 2 und 3) 1 <« + 1, was (Df 3) 1 ^rt + 1 

 gibt, d. h. der Satz gilt auch für (7+1. 



Satz 4. [a<ib) + [a =^ b) + (a > b). 



Beweis: Der Satz gilt für />< — 1, weil nach Hilfssatz 2 entweder a = 1 

 oder a ^ 1 sein mufa. Ich setze die Richtigkeit des Satzes für b bei unbe- 

 stimmtem a voraus und beweise seine Richtigkeit für b + 1 tür beliebiges a. 

 Findet nämlich dann a <ib -^ \ nicht statt, so kann (Df 21 weder a <C b 

 noch a = b sein ; dann soll aber der Annahme zufolge a ^ b sein, woraus 

 (Hilfssatz \) a^b + l. 



Hilfssatz, {a <b){a + l <b + l) + in < A) (a + \ <b +n 



