TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Dieser Satz kann in Worten so ausgedrückt werden : Aus a <C b folgt 

 a + \ <C b -{- 1 und umgekehrt. 



Beweis: Aus «< 6 folgt (Hilfssatz 1 des Satzes A) a + \^b, woraus 

 (Df. 2)a + \ <b+ \. Aus a + \ <b + 1 folgt (Df. 2) entweder a+ \<b 

 oder a -\- \ =^ b. Hieraus in beiden Fällen a <^ b. 



Satz 5. a <C^ a. D. h. eine beliebige Zahl ist nicht kleiner als sich selbst. 



Beweis: Dies ist richtig für « = 1 (Df. 2). Ich setze die Richtigkeit 

 für ein gewisses a voraus. Aus a -\- \ <C a + \ würde nach dem letzten 

 Hilfssatze a <Ca folgen, was der gemachten Annahme widerstreitet. 



KoroUar zu den Sätzen 3 und 5 : [a < b) [a > b) + {a <Cb) {a > b). 



In Worten: Ist a<Cb, so ist nicht a y> b , und umgekehrt. 



Denn wä re a <C b und zugleich a^ b, so würde (Satz 3) a <^ a folgen. 



Korollar: [a <i b) + {a ^ b)^ , d. h. wenn a <i b ist, so ist a verschieden 

 von b. Denn aus [a <^ b) (a = b) würde ja « •< « folgen. 



Die 3 Relationen a <i b , a = b, a'j>b schließen einander also aus, 

 während andererseits nach Satz 4 eine von ihnen in jedem Falle erfüllt 

 sein mufe. 



Satz 6. {a <b)(a + c<b + c) + (a <T) Ta + c < b + c). 



Beweis: Nach dem Hilfssatze zu Satz 5 ist dies jedenfalls richtig, wenn 

 c = 1. Wir machen die Annahme, dafs die Richtigkeit für beliebige a und b 

 für ein gewisses c schon bewiesen ist. Aus a <C b folgt alsdann a + c <^b -\- c, 

 woraus kraft Satz 1 und desselben Hilfssatzes a + {c + \) <^ b + {c + 1). 

 Umgekehrt folgt aus « + (c + 1 ) < 6 + (c + 1 ) kraft Satz 1 und dieses 

 Hilfssatzes a + c <i b -\- c, woraus der Annahme nach a <C b. 



Satz 7. {a<b){c<Cd) -}- {a + c <Cb + d). 

 D. h. : Aus der gleichzeitigen Gültigkeit von a <C b und c <C d folgt 

 a -\r c <^b -\- d. 



Beweis: Aus a <i b folgt (Satz 6) a ^ c<ib + c. Aus c<Zd folgt 

 (Satz 2 und Satz 6) b + c <i b + d. Aus der gleichzeitigen Gültigkeit von 

 a + c < Ä + c und b + c<b + d folgt (Satz 3) a + c<b ^ d. 



Dies ist ein typisches Beispiel eines nicht rekurrenten Beweises, der 

 also blofa in einer endlichen Kombination früherer Sätze besteht, während 

 ein Beweis durch vollständige Induktion einen unendlichen Prozeß darstellt. 

 Wir haben übrigens schon einige andere Beispiele nicht rekurrenter Be- 

 weise gehabt. (Der Hilfssatz des Satzes 5 und die Korollaren der Sätze 

 3 und 5). 



Satz 8. {a + c ^ b + c) + {a = b). 



D. h. : Aus a + c =-- b + c folgt a = b. Dafa auch die Umkehrung wahr 

 ist, ist selbstverständlich. 



Beweis: Ist a 4= b, so mufs (Satz 4) entweder ^ <r <^ oder «> ^ sein. 

 Aus a <i b folgt aber (Satz 6) a + c <i b + c und aus a^ b m derselben 



' Ich schreibe, wie man gewöhnlich tut, a ^ b um auszudrücken, dafà a nicht gleich b ist, 

 also statt (a = b). 



