1923- ^^'o. 6. BEGRCNDUNG der elementaren ARITHMETIK. Q 



Weise a ^ c ^ b — c, und beides läuft der Gleichung a -^ c = b -^ c 

 zuwider (KoroUar des Satzes 51. 



Der Spezialfall c = 1 dieses Satzes sagt aus, dafe es nur eine Zahl 

 geben kann, die eine bestimmte nachfolgende hat, oder ni. a. \V. jede Zahl 

 kann nur eine vorhergehende haben. 



Satz 9. a <C a ^ b. 



Beweis: Richtig für b^ 1 für unbestimmtes a (Df. 2). Die Richtigkeit 

 für beliebige a für ein gewisses b können wir dann voraussetzen. Aus 

 a<^a -^ b erhalten wir aber weiter iDf. 2\ a <^[a -^ b\ -^ 1 , à.\\.a<^,a^\b-^ II 

 (Df. 1). 



§ 3. 



Die Multiplikation. 



Df. 4. a ■ \ = a. aib — l\ = ab — a. 



Dies ist eine rekurrierende Definition einer deskriptiven Funktion ab 

 zweier \'ariablen a und b, die das Produkt von a und b genannt wird. 



Satz 10. Erstes distributives Gesetz: aib -^ c) = ab — ac. 



Beweis: Der Satz gilt für c= 1 (Df. 4). Wir nehmen also an, daß 

 er für beliebiges a und b für ein gewisses c gültig ist. Wir erhalten dann 



a {b — ie — W) = a {ib — c) -r \) = a {b ^ c) -^ a =^ \ab — ac\ — a = 

 = ab — {ac — a\ = ab — a [f — 1 1, 



wobei von Satz 1 . Df. 4 und der gemachten Annahme Gebrauch gemacht ist. 



Satz 11. Das assoziative Gesetz: a {bc) = iab) c. 



Beweis: Der Satz gilt, wenn c = 1 (Df. 4). Wir setzen deshalb voraus, 

 data er für beliebige a und b für ein gewisses c richtig ist. Dann be- 

 kommen wir 



a{b{c — W) = aibc - b) = a [bc\ — ab = iab) c — ab = iab) {c - II 



unter Anwendung von Df. 4, Satz 10 und der gemachten Annahme. 



Satz 12. Zweites distributives Gesetz: (a — b) c = ac — bc. 



Beweis: Wenn c= 1, ist der Satz richtig (Df. 41. Wir nehmen an, 

 dafe er richtig ist für beliebige a und b für ein gewisses c. Dann erhalten 

 wir unter Anwendung von Df. 4 und den Sätzen 1,2: 



{a - b){c - l) = ia ^ b)c — {a ^ b) ^ {ac ^ bc) -^{a - b) = {{ac + bc) ^ rt) — ^ = 



= (ac - [bc ^ a)) ^ b = {ac - {a - bc)) - é = {{ac ~ a) -^ bc) -^ b ^ 



= {a{c -r- \) - be) - b = a{c - \) ^ {bc ^ b) = a{c -^ W ^ b{c ^ 11. 



Hilfssatz. \ • a = a. 



Beweis: Richtig für a = 1 (Df. 41. Ist er für a richtig, so folgt 

 1 • ((7 — 1 1 = 1 • a - 1 = rt -r 1 , d. h. er ist auch für a — 1 richtig. 



