TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Satz 1 3. Das kommutative Gesetz : ab = ha. 



Beweis: Dieser Satz gilt für beliebige a, wenn b gleich 1 ist. (Der 

 Hilfssatz). Aus der angenommenen Richtigkeit für /; für beliebiges a folgt 

 (Satz 12 und der Hilfssatz) 



a{b ^ \\ = ab ^ a = ba -^ a ={b ^ \)a. 



Satz 14. (rt < b) \ac < bc) + (a < b) {ac < bc). 



In Worten : Aus a <^ b folgt ac <C bc und umgekehrt. 



Beweis: Der Satz ist selbstverständlich richtig für beliebige a und b, 

 wenn c = 1 ist. Wir können deshalb annehmen, daß er für beliebige a und b 

 für ein gewisses c gültig ist. Aus a <^ b folgt dann ac <C bc, woraus (Satz 7) 

 ac + a<ibc + b, d. h. iDf. 4) a \c + \X b {c ^ \). Die Umkehrung mufs 

 auch richtig sein ; denn aus a = b würde ja ac = bc und aus a ^ b nach 

 dem bewiesenen ac ^ bc folgen. 



KoroUar: {ac ^ bc) + (^ = b), d. h. aus ac = bc folgt a = b. 



Satz 15. (7 <C ab. 



Beweis: Richtig für b ~ 1. (Df. 4). Aus der Richtigkeit für /; folgt, 

 da (Satz 91 ab <i ab -^ a ist, nach dem Satze 3 a <^ a [b + 1), d. h. der 

 Satz ist auch für b + 1 richtig. 



KoroUar : Aus ab<,c folgt a <^c oder m. a. W. : [ab >> c) + (a < c). 



§ 4. 



Die Teilbarkeitsrelation. 



Mit der Multiplikation eng verknüpft ist der Begriff der Teilbarkeit. 

 Dieser wird immer mit Hilfe einer scheinbaren Veränderlichen definiert. 

 Man sagt ja, dafe a durch b teilbar ist, wenn es eine Zahl x gibt, so dafs 

 a = bx ist. Mit Hilfe ScHRöDER'scher S3'mbole nimmt diese Definition das 

 folgende Aussehen an, wenn D [a, b) die Aussagenfunktion „a ist teilbar 

 durch b" bedeutet : 



Dia, b) = I(a = bx). 



X 



Eine solche Definition bezieht sich auf eine unendliche ■ — und das 

 heifat ja undurchführbare — Arbeit, weil das Kriterium der Teilbarkeit 

 darin besteht, ob man durch Probieren die ganze Zahlenreihe Jiinditrch eine 

 Zahl X finden kann, so beschaffen, dafs a = bx wird. 



Es ist jedoch hier leicht, sich von der Unendlichkeit frei zu machen, 

 die bei dieser Definition klebt. Es ist nämlich klar, daß eine Zahl x der 

 verlangten Beschaffenheit, falls eine solche überhaupt vorkommt, unter den 

 Zahlen 1, 2, . .,a auftreten muß; denn aus bx = a folgt nach Satz 15 



