19^3- ^'^- 6- begrCndlwg der elementaren Arithmetik. i i 



.r<rt. Deshalb kann die Teilbarkeitsrelation genau ebenso gut wie folgt 

 definiert werden : 



D la. h) = I:, \a = bx) = {{a = b) -r- [a = 2 b) -t \a = 3 b) ^ . . + {a = ba)). 



I 



Hier kommt allerdings noch eine scheinbare \'eränderliche .v vor; i/ir 

 J'ariafionsbcreic/i ist aber hier nur ein endlicher, nämlich blo6 die Werte 

 von 1 bis a. Deshalb gibt uns diese Definition ein endliches Kriterium 

 der Teilbarkeit: man kann in jedem Falle die Gültigkeit oder Ungültigkeit 

 der Aussage D {a, b) mit Hilfe einer endlichen Arbeit — endlich vieler 

 Operationen — konstatieren. Da nun die ScHRöDER'sche Aussagensumme 

 in dieser Definition eine endliche ist, kann sie selbst wieder durch Rekursion 

 definiert werden, und dadurch läfat sich zuletzt die Anwendung einer schein- 

 baren \'eränderlichen ganz vermeiden. Um dies zu erreichen, brauchen wir 

 nur zuerst eine temäre Relation J {a, b, c) zu definieren, die bedeuten soll, 

 da6 a gleich b multipliziert mit einer Zahl zwischen I und c I beide inklusive) 

 ist. Die genaue Definition von J («, b, c) geschieht so : 



Df. 5. J la. b. \) = (a = b). J \a, b. c ~ II = J (a, b, c) + \a = bic- \)). 



Mit Hilfe dieser Aussagenfunktion J wird die Teilbarkeit D so 

 definiert : 



Df. 6. D \a, b\ = J {a, b, a). 



Es ist sehr leicht zu sehen, dafa die Aussagenäquivalenz 



c 



J \a, b, c\ = 2';tlrt = bx) 



besteht, so daß Df. 6 mit der oben erwähnten endlichen Definition der Teil- 

 barkeit völlig übereinstimmt. In der Tat gilt ja diese Äquivalenz für c = \, 

 weil die Aussagensumme rechts sich dann auf das eine Glied a = b reduziert, 



c— 1 



und aus der Richtigkeit für c folgt die Richtigkeit für c — 1 ; denn ^x '« — bx) 



c 



bedeutet ja dasselbe wie Zx^o == ^-vl ^ {a ^ bw — li). 



1 



Satz 16. [a ^ bc) -r J 1/7, b, c\; d. h. aus a = be folgt J \a, b, c). 



Folgt unmittelbar aus Df. 5. 



Satz 1 7. J 1(7, b, c) — Ir >> r'l ^ J {a, b, c'l 



Dies kann auch so ausgedrückt werden: Aus J ia, b, c){c ^c ) folgt 

 J {(7, b, c'l 



Beweis : Selbstverständlich richtig, wenn c' = Ï. Wir nehmen an, dafa 

 der Satz richtig ist für ein gewisses c' für beliebige Werte von a, b und c. 

 Aus c-^c' + 1 folgt ent%veder c ^ c', das mit J [a, b, e) der Annahme 

 nach J [a, b, c) und dadurch auch {Dt 5) J ia, b, c + \) gibt, oder f = r' H- 1, 

 das mit J [a, b, c) natürlich J 1«, b, c ^ II gibt. Der Satz ist also auth 

 richtig für c -^ 1 für beliebige Werte von a, b und c und gilt also völlig 

 allgemein. 



