TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



Satz 18. J {a, h, c) + D[a, b). D. h. aus J [a, b, c) folgt D {a, b). 



Beweis: Aus J {a, b, \), d. h. a ^= b, folgt, da 1 ^ <? (Hilfssatz 2 des 

 Satzes 4), nach Satz 17 A [a, b, a), d. h. D {a, b). Nehmen wir jetzt an, 

 dafe der Satz für c gültig ist. Aus J (a, b, c + 1) folgt (Df. 5) entweder 

 J [a, b, c), woraus der Annahme zufolge D (a, b), oder a =^ b (c + \), woraus 

 (Satz 15) c + l^a; aber aus J (a, b, c + DU + 1 ^a) folgt (Satz 17) 

 J in, b, a), d. h. D [a, b). 



Korollar zu den Sätzen 16 und 18: {a- ^ bc) + D [a, b); d. h. aus a — bc 

 folgt D {a, b). 



.Satz 19. (a ^ bd) + 11^77,"^) + J ia, c, de); d. h. aus {a = bd)J{b,c,e) 

 folgt -J [a, c, de). 



Beweis : Ist ^ = 1 , so ist J (b, c, e) = (b = c) ; aus {a = bd) A (b, c, 1 ) folgt 

 also a - cd, woraus (Satz 16) J [a, c, d). Wir setzen deshalb die Richtigkeit 

 des Satzes für e (bei beliebigen a, b, c, d) voraus. Aus (a = bd) A [b, c, c + 1) 

 erhalten wir (Df. 5) entweder [a = bd) A [b, c, e), woraus also A {a, c, de), 

 woraus wieder, da de <C d ie + 1) ist ide <C de + d nach Satz 9), nach dem 

 Satze 17 A{a, c, d [c -f 1 )), oder [a = bd) {b -= c{e + 1 )), woraus a = cd [e + 1 ), 

 was wieder (Satz 16) J {a, c, die + 1)) gibt. 



Korollar zu den Sätzen 18 und X^è: {a ^ bd) + D ib, c) + Dia, c); d. h. 

 aus [a ^ bd) D {b, c) folgt D ia, c). Denn aus ia = bd) A ib, c, b) folgt (Satz 19) 

 J ia, c, bd), woraus (Satz 1 8) D [a, c). 



Satz 20. J (/7, b, d) + D ib, c) + D ia, c). 



Beweis: Aus A in, b, \) D ib, c) folgt natürlich Dia,c), da A[a,b, 1) 

 = (fl! = b) ist. Wir setzen die Richtigkeit des Satzes für beliebige a, b und c 

 für ein gewisses d voraus. Aus J [a, b, d -\- \) D ib, c) erhalten wir (Df. 5) 

 entweder ^1 ia, b, d) D ib, c), woraus der Annahme zufolge D ia, c), oder 

 {a = b id + \)) D {b, c), woraus nach dem Korollar zu den Sätzen 18 und 

 19 Dia,c) folgt. Hierdurch ist die Richtigkeit für c + 1 bewiesen. 



Korollar : D ia, b) D {b, c) + D ia, c) ; d. h. aus D ia, b) D ib, c) folgt D ia, c). 



Dies ist in der Tat blofs der Spezialfall des Satzes 20, der entsteht, 

 wenn man d = a setzt. 



Dieser letzte Satz, daf? D ia, c) aus D ia, b) D [b, c) folgt, ist mit dem 

 Satze nahe verwandt, der sagt, dafj ia = cde) aus ia = bd) ib = ce) folgt, 

 hat aber einen ganz anderen Sinn. Auch nach der gewöhnlichen Auf- 

 lassungs weise mit Anwendung scheinbarer Variablen mit unendlichem Varia- 

 tionsbereich sind die beiden Sätze ihrem Inhalte nach ganz verschieden, 

 was sofort offenbar wird, wenn beide genau formuliert werden. Der eine 

 Satz ist in ScHRöDER'schen Symbolen : 



ia) nnn{2ia = bx) + Zib = cy) + 2ia = cz)). 



a b c X y z 



Der andere Satz ist: 

 iß) nnnn n{[a t bd) + (/; 4: ce) + ia = cde)). 



a b c d e 



