1923- ^^O. 6. BEGRÜNDUNG DER ELEMENTAREN ARITHMETIK. I3 



Wenn man indessen gewöhnlich die Richtigkeit des Satzes D Ka, b) 

 + D (/», (1 4- D {a, c) oder (a) dadurch beweist, dafa man den Satz {ß) beweist, 

 so beruht das auf gewisse logische Schemata, die den Gebrauch der /7- und 

 ^-Zeichen betreffen ; diese werden aber im gewöhnlichen mathematischen 

 Denken stillschweigend vorbeigegangen. 



Satz 21. J Ka, c, d) + [b ^ cc) -r A [a ^ b, c, d -f c\. 



Beweis: Aus J Ka, c, \) [b = ce) oder m. a. W. [a = c)(b = ce) folgt 

 a + b = c{\ + c), und daraus (Satz 16) J la -r b, c, 1 -^ r). Der Satz ist 

 also richtig, wenn r/ = 1 . Wir setzen die Richtigkeit für ein gewisses d 

 voraus und beweisen wie folgt die Richtigkeit für d + 1. Aus J ia, c, d + 1 ) 

 (b = cc) folgt entweder J [a, c, d)[b = cc\, woraus der Annahme zufolge 

 J ia + b, c, d + c), was wieder J {a + b, c, [d + \) + c) zur Folge hat 

 (Sätze 1, 2 und Df. 5), oder {a = c (d + 1)) {b = er), woraus a + b = 

 c {{d +11 + e), was wieder (Satz \6) J {a -^ b, e, [d ^ 1) + e) zur Folge hat. 



Korollar : J in, c. d) + J ib, r, II -^ J {a + b, c, d + 11. 



Satz 22. J ia, c, d) + J [b, c, c) -j- J [a ^ b, c, d ^ e). 



Beweis : Nach dem Korollar des Satzes 2 1 gilt dies für ^ = 1 . Wir 

 setzen deshalb die Richtigkeit des Satzes für ein gewisses c voraus und 

 beweisen die Richtigkeit für e + 1 wie folgt. Aus J {a, c, d) J {b, c, e + 1) 

 erhalten wir entweder J {a, c, d) J [b, c, e) und daraus der Annahme zufolge 

 J (a -^ b, c, d -!- e), was wieder J {a + b,c, d -}- \e -t 1 1) zur Folge hat, oder 

 J {a, c, d) ib = c(e -\- 1)), woraus (Satz 21) J {a + b, c, d + {c + 1)). 

 Korollar : B ia, c)D[b, c) + D [a + b, c). 



In Worten : Wenn sowohl a wie b durch c teilbar sind, so ist auch 

 a + b durch c teilbar. 



Denn aus A (a, c, a) A [b, c, b) erhalten wir nach Satz 22 J[a + b,c,a + b\. 



Hilfssatz. A {a + b, b, c + \) -\- A{a, b, c). 



Beweis: Aus A[a -{- b, b, 2) folgt (Df 51 entweder a + b = b, was aber 

 unmöglich ist, da (Satz 9) a + b ^ b sein muta, und die Relationen ^ und 

 = einander ausschließen (Satz 5), oder a + b = b • 2, woraus b = a (da 

 nämlich aus a + b = b + b nach Satz 8 a = b folgen mufe). Unser Hilfs- 

 satz ist also richtig für c ^ \. Wir setzen seine Gültigkeit für c voraus 

 und beweisen sie dann für c + \. Aus A [a + b, b, c + 2) folgt in der Tat 

 entweder A [a + b, b, c + 1 ), woraus der Annahme zufolge J ia, b, c) und 

 also auch J ia, b,c + I) folgt, oder a + b = b {e -t 21, woraus (Satz 81 

 a =^ b ic + 1), was wieder J [a, b, c + 1) zur Folge hat. 



Indem wir von der Subtraktion vorgreifend Gebrauch machen (siehe §51, 

 kann man diesem Satze auch folgende Form geben: Aus I ia + b,b,c)U^ II 

 folgt J [a, b,c — I ). Dies ist ja richtig, wenn c = 1 ist, weil die Hypothesis 

 dann falsch ist. Gilt der Satz für c, so gilt er auch für c + 1 ; denn aus 

 A{a + b, b, c + 1 ) erhalten wir ja nach dem eben bewiesenen J (a, b, c), 

 und es ist c = (c + 1 1 — 1. (Siehe Df. 71. 



Satz 23. J \a - bd, b, c + d) ^ A [a, b, c). 



