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Beweis : Im Falle c/ = 1 kommen wir zum Hilfssatze zurück. Wir setzen 

 deshalb die Richtigkeit des Satzes für d voraus und beweisen sie für d ^ \. 

 Aus J (ß + bd + h,b,c ^ d ^ 1) folgt (Df 5) entweder a ^ hd -^ b ^ 

 b{c Ar d ^ 1 ) oder J (a + bd -\- b, b, c + d). Im ersten Falle erhalten wir, 

 da (Satz 10) b [c + d + \) '-=- bc + b (d + 1) ist, a = bc (Satz 8), woraus 

 J (a, b, c) (Satz 16). Im zweiten Falle erhalten wir, da c + c/ > 1 sein mufs 

 (Hilfssatz 2 zu Satz 4 und Satz 9), nach dem Hilfssatze J(a + bd, b, c + d — 1 1, 

 woraus A{a + bd, b, c + d), was der Annahme nach J (a, b, c) zur Folge hat. 



Satz 24. Aia + b,c,d + c) + A [b, c, c) + A{a,c,d + e). 



Beweis: Dies ist wahr für f = I ; denn aus J [n + /;, c, d +^ 1) (Z» = c) 

 erhalten wir nach dem Hilfssatze des Satzes 23 J (a, c, d) und also auch 

 A{a, c, d + 1). Wir können deshalb die Wahrheit des Satzes für c (bei 

 beliebigen a, b, c, d) annehmen und beweisen sie dann für e + 1 (für be- 

 liebige Werte von a, h, c und d\. Aus ^1 {a + b, c, d + {c + \)) A{b, c, c + 1 ) 

 erhalten wir entweder J [a + b, c,{d + \] + e) A (b, c, c), was nach der Vor- 

 aussetzung A {a, c, id + 1) + e) oder m. a. W. A {a, c, d + ic + 1 )) zur Folge 

 hat, oder A {a + b, c, d + {e + \}) {b = cic + 1 )), woraus (Satz 23) A{a, c, d), 

 was wieder (Satz \7) A {a, c, d -h c + \) zur Folge hat. 



KoroUar. D {a + b, c) D [a, c) + D [b, c). 



Denn erstens mufe (Satz 24) A ib, c, a + b] aus A[a + b,c,a + b) A[a,c,a) 

 folgen, und zweitens ist (Satz 18) D{b,c) eine Folge von A[b,c,a + b). 



Nach der Einführung der Subtraktion wird man diesen Satz auch so 



schreiben können : (a^ b) + D {a, c) + D [b, c) -]- D {a — b, c], 



D. h. wenn a und b beide durch c teilbar sind, und a größer als b ist 

 (damit eine Differenz a — b existieren soll), so ist a — b durch c teilbar. 

 Satz 25. A {a, b, c) + (a ^ /;). 



Beweis : Der Satz gilt selbstverständlich für c = \. Wird seine Gültig- 

 keit für c vorausgesetzt, so erhalten wir aus A [a, b, c + 1) entweder A{a, b, c), 

 was also a^^b gibt, oder a ^ b (c + 1 ), woraus auch a^ b folgt (Satz I 5). 



Korollar 1 . ITiäTb) + (a > b). 



Korollar 2. D {a, b) + D (b, a) + (a = b). 



Denn aus [a ^ b] [b ^ a) muß (Satz 5) ja a = b folgen. 



Satz 26. A [a, b, d) A {ac, bc, d) + A ia, b, d) A [ac, bc, d). 



In Worten: Aus A (a, b, d) folgt A {ac, bc, d] und umgekehrt. 



Beweis : Der Satz ist wahr, wenn d = \ ist ; denn aus ac = bc folgt 

 ja nach dem Korollar des Satzes \A a = b, und umgekehrt folgt aus a = b 

 natürlich ac = bc. Wir setzen die Richtigkeit für d voraus und beweisen 

 die Richtigkeit für (/ + 1 . Aus A {a, b, d + 1 ) erhalten wir entweder 

 A {a, b, d), was der Annahme nach A {ac, bc, d) und also auch A {ac, bc, ^ + 1) 

 zur Folge hat, oder a = b {d + 1), woraus ac = {b (d + 1 )) c = Z» ((c/ + l)r) 

 = b{c{d + D) = ibc) {d + \) (Sätze 11, 13), und aus ac = bc {d + 1) folgt 

 wieder (Satz 1 6) A {ac, bc, d + 1 ). Ebenso erhalten wir aus A {ac, bc, d + 1 ) 

 entweder A {ac, bc, d), woraus also A (a, b, d) und also auch A {a, b, d -\- 1 ), 



