1923- No. 6. BEGRÜNDUNG DER ELEMENTAREN ARITHMETIK. 15 



oder ac = hc [d -\- \) -= b (d + II c, woraus zufolge dem Korollar des Satzes 

 14 a = b((i+ 11, woraus (Satz 16) A{a,b,d+ \). 



Korollar: D (rr, b) D [ac, bc] + lÜäjy) D Uic, bc). 



Satz 27. [a 4= b(i) + J (^^, c, c) + J (a, bc, c). 



Beweis: Richtig für r = 1. Wir setzen deshalb die Richtigkeit für 

 c voraus und beweisen sie für c + \. Aus JUi,c,c + 1) erhalten wir ent- 

 weder J [d, c, r), das mit a — bd der Annahme nach J in, bc, r) und also auch 

 J ia, bc, c + \) gibt, oder d — c (c + \), das mit a ■— bd uns r/ — ibc) (c + 1} 

 (Satz 11) gibt, woraus J(a,bc,c + 1) (Satz 16). 



§ 5. 



Subtraktion und Division. Deskriptive Funktionen mit eingeschränktem 



Existenzbereich. 



Die Subtraktion kann bekanntlich in folgender Weise definiert werden : 

 Df. 7. [c — b = a) = [c = a + b). 



Daf3 hierdurch eine deskriptive Funktion c — b, die Differenz genannt, 

 definiert wird, ist klar ; denn durch die Gleichung a + b =^ c ist a ein- 

 deutig bestimmt durch b und c. Es wird aber dies eine deskriptive Funk- 

 tion mit eingeschränktem Existenzbereich ; denn wenn c ^ b ist, kann eine 

 Gleichung der Form c = a + b nicht bestehen, und nach Df. 7 besteht 

 dann für jede Zahl a die Ungleichheit c — b ^ a, d. h. c ~ b ist nicht gleich 

 einer Zahl. Andererseits läfst sich beweisen, daß c — b sicher einen Wert 

 hat, wenn c ^ b ist. Diesen Satz wird man geneigt sein, so zu formulieren : 



(73^) + ^(.v + b = c], 



X 



WO die Aussagensummation in bezug auf .v über „alle" Zahlen von 1 

 bis X zu erstrecken wäre. Allein es ist auch hier nicht nötig, eine solche 

 aktuale Unendlichkeit heranzuziehen ; wir können in der Tat den folgenden 

 Satz beweisen : 



{c> b) + SAx + b = c), 



der ja noch eh^r hinreicht, um die Existenz eines Wertes von c — b zu 

 sichern. Die Aussagenfunktion der drei Variablen .v, y, z 



^aUt + y = x) = L{x,y,z) 



