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läfat sich aber wieder rekurrierend definieren, so dafa wir die sciieinbare 

 Variable ii ganz vermeiden können. Der Satz, der bewiesen werden soll, 

 ist dann augenscheinlich: 



Satz 28 : c^ b + L{c,b, c). 



In Worten lautet dieser Satz in der Tat so : Ist c ^ b, so gibt es 

 unter den Zahlen von 1 bis c eine Zahl .r so beschaffen, dafa .v + b =^ c 

 oder m. a. W. x = c — b ist. 



Wir brauchen die rekurrierende Definition der Funktion L und ein 

 Paar einfache Sätze über sie. 



Df. 8. L {x,y, 1) = U- = 1 + y), L {x,y, z + \) = L (x,y, z) + 

 + {x = (z+ 1 ) -\-y). 



Satz 29. L {x,y, z) {z^z) + L {x,y, z). 



Beweis : Richtig, wenn s' = 1 . Ich setze die Richtigkeit für z voraus 

 und beweise dadurch die Richtigkeit für s' + 1 . Aus z-^z + 1 folgt in 

 der Tat entweder z-^z, das mit L\x,y,z) der Annahme nach L{x,y,z'] 

 und also (Df. 8) auch L {x,y, z + 1) gibt, oder z = z + 1, das mit 

 L [x, y, z) selbstverständlich L {x, y, z' + l) gibt. 



Satz 30. L ix,y, z) + L {x + l,y,z + 1). 



Beweis : Richtig, wenn z = \ ; denn aus .v = 1 + y folgt ja .v + 1 

 =: (1 +y) +1 = 1+ (v + 1) = 1 + (1 +y) = (1 + 1) + r (Sätze 1 und 2). 

 Ich setze die Richtigkeit für z voraus und beweise sie für 2 + 1. Aus 

 L{x,y,z + 1) folgt (Df. 8) entweder Hx,y,z), woraus nach der gemachten 

 Voraussetzung Lix + \,y, z + 1) und also weiter auch L (x + \,y, z -\- 2] 

 folgt, oder .t = (ø + 1) + y, woraus .v + 1 = {(z + 1) + y) + 1 = (ø + 1) 

 + (_y + 1) = (^ + 1) + (1 ^y)=={z + 2)-\-y (Satz 1 und 2), woraus (Df. 8) 

 L{x + \,y,z -Y 2). 



Jetzt kann der Beweis des Satzes 28 geführt werden: 



Satz 28 ist jedenfalls richtig, wenn c = 1 ; denn 1 ^ ä ist ja schon 

 wahr. Ich setze deshalb die Richtigkeit für c voraus und beweise die 

 Richtigkeit für c + 1. Aus c -\- \ ^ b erhalten wir (siehe Hilfssatz 1 des 

 Satzes 4, Hilfssatz des Satzes 5 und Satz 8) entweder c ^ b, was nach 

 der gemachten Voraussetzung uns L (c, b, c) gibt, woraus wieder (Satz 30) 

 L ic + \,b,c + 1) folgt, oder c = b, woraus c+\=b+\ = \+b (Satz 2) 

 und daraus (Df. 8) Z, (c + \,b,\ ) und daraus wieder (Satz 29) L [c + \,b,c + \). 



In analoger Weise wie die Subtraktion wird die Division eingeführt. 



Df. 9. ij--= a\ = {c = ab). 



c . 

 Dieser sogenannte Quotient — ist augenscheinlich wieder eine Funktion 



mit begrenzter Existenz ; denn aus c = ab folgt ja (Korollar der Sätze 1 6 



c 

 und \S] D ic, b), so dafa — nur dann einen Wert hat, wenn D {c, d) wahr 



b 



ist. Umgekehrt ist dies auch hinreichend ; denn die Aussage D ic, b) oder 



m. a. W. J [c, b, c) (siehe Df. 6) ist ja mit der Aussagensumme 



