l8 TH. SKOLEM. M.-N. KL 



{c kleinstes srem. Vielfaches von a und /;) = 



= D [c, a) D (r, b) n{D (x, a) + D (x, b] + D [x, c)). 



X 



Da indessen x ^a aus D [a, x) folgt (Korollar 1 des Satzes 25), so 

 läßt sich der unendliche Variationsbereich in der Definition des gröfaten 

 gemeinschattlichen Teilers sofort auf einen endlichen einschränken, indem 

 wir ebenso gut schreiben können : 



{c größter gemeinschaftlicher Teiler von a und b) = 



= D [a, c) D (/;, c) n, (D {a, x) + D [b, x) + D {c, .vi). 

 I 



Es ist allerdings hier ein Nachteil, dafa die Definition unsymmetrisch 

 in bezug auf a und h wird. Dies läßt sich aber auch leicht vermeiden, 

 indem man statt der oberen Grenze a beim /7-Zeichen natürlich auch a -\- b 

 schreiben kann oder noch besser Min [a, h), wenn Min ia, b] die kleinere 

 der Zahlen a und /; bedeutet. Für die Definition des kleinsten gemein- 

 schaftlichen Vielfachen ist eine solche Reduktion zu einem endlichen Varia- 

 tionsbereich nicht ganz so einfach durchführbar. — Ich werde im folgenden 

 diese Begriffe in einer anderen Weise einführen, wobei scheinbare \'er- 

 änderliche ganz vermieden werden. Ich mufe dabei allerdings das rekurrierende 

 Definitionsverfahren in einer (wie ich bald zeigen soll, aber blofà scheinbar) 

 anderen Weise als früher anwenden. Bisher ist immer die rekurrente De- 

 finition streng in der Weise geschehen, dafs wir einen Begrift' für die Zahl 

 1 definierten und dann für ;/ + 1, indem die Definition für eine beliebig 

 gegebene Zahl ;/ schon als fertig angenommen wurde. Weiter kommt auch ein 

 formal logisches Prinzip hier zur Anwendung, Ucämlich, dafs wir für Fälle, 

 die einander gegenseitig ausschließen, besondere Definitionen aufstellen 

 können. Ich führe zwei deskriptive Funktionen, a /\ b und a\/ b, zweier 

 Veränderlichen a und b ein, deren Identität mit dem größten gemeinsamen 

 Teiler und dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen nachher gezeigt wird. 



Df. 10. {{a ^ h) + {a /\ b = a)) ([a > /;) + { o /'x b = [a — b) /\ b)) 



{{a < b) + {a ,\b = a /\{b — a)). 



Dies ist eine vollkommen legitime rekurrierende Definition der deskrip- 

 tiven Funktion a A b ; denn setzt man voraus, dafs sie schon für solche 

 Werte von n und b, für welche a + b <C n ist, definiert ist, so wird sie 

 durch Df. 10 für a + b ^ ii definiert. Denn sind a und b zwei solche 

 Zahlen, dafs a + b = >i ist, so ist entweder a =' b oder a ^ b oder a <^b, 

 und diese drei Fälle schließen einander aus, während Df. 10 in jedem Falle 

 bestimmt, was a /\ b bedeuten soll. Außerdem gibt uns Df. 10 den Wert 

 von a :^'\ b in dem Falle a -{- b = 2, wobei a = b = 1 sein muß. 



In den Beweisen einiger der folgenden Sätze weide ich auch die voll- 

 ständige Induktion in einer (allerdings wie ich bald zeigen will bloß schein- 

 bar) anderen Weise als früher anwenden. Bisher ist immer dieser Induk- 

 tionsschluß so geschehen : Wir beweisen einen Satz für die Zahl 1 und 



