1923. NVi. 6. i'.EGR("xiM-.\f; nr.R ki.f.mentarfn arithmktik. 19 



dann für 1/ ^ \. indeni die Gültigkeit für // vorausgesetzt war. jetzt werde 

 ich auch so induktiv beweisen: Ich beweise für 1 und dann für //, indem 

 die Gültigkeit für eine beliebige Zahl <[ n vorausgesetzt wird. 



Hilfssatz : rt A 1 = 1 • 



Beweis: Richtig für r? = 1 zufolge Df 10. Wird die Richtigkeit für 

 a vorausgesetzt, erhalten wir nach Df. 10, da + 1 >■ 1 ist (Satz 9), daf3 

 [n -t- II -X 1 = a A 1 ist, und also ist auch (a + 1 ) A I — I . 



Ebenso läfet sich beweisen, daft 1 A ^ — 1 ist. Überhaupt ist natürlich 



Satz 37. D ia, a /\ b] D (/>, a /\ b). 



Beweis. Dieser Satz ist richtig für beliebige b für a = 1 und iür be- 

 liebige a für Z» — 1 ; denn nach dem Hilfssatz ist ^ A ^ — 1 A '^ — 1 • Ich 

 setze die Richtigkeit des Satzes für a + b <^ n voraus und beweise dann 

 die Richtigkeit für (? + /» = //. Ist nämlich erstens a = b, so ist nach Df. 10 

 a A l^ " <^< und folglich gilt der Satz. Ist zweitens a ^J> b, so ist Ui — b) 

 + b <C //, und der Annahme zufolge gilt dann D {a — b, [a — b) /\ b) 

 D{b,{a — b) A b). Nach Df 10 ist aber {a — b) A ^^ == (^ A ^, und wir 

 erhalten also D ia — /;, a /\ b) D {b, a A ''-'*. woraus nach dem Korollar des 

 Satzes 22 und dem Satze 31+ auch D \a, a /\b) folgt. Der Satz ist also 

 auch in diesem Falle richtig. Ist drittens a <^ b, kann man genau analog 

 verfahren. 



Satz 38. D ia, c) D [b, c\ + D (a A b, c). 



Beweis : Der Satz gilt, wenn a - 1 , für beliebige b und für beliebige 

 a für \ = b\ denn dann folgt aus D [a, c\ bezw. D \b, c), dafe c = 1 ist. 

 Ich setze die Gültigkeit des Satzes für solche a und b, dafa a + b -^ 11 ist, 

 voraus und beweise daraus die Gültigkeit für solche a und b, daf3 a -\- b = n 

 ist. Es seien also a und b solche Zahlen, dafa a -\- b ~ n ist. Erstens 

 kann dann a = b sein; nach Df 10 ist in diesem Falle a A ^ ^" (^> und 

 der Satz ist also richtig. Zweitens kann a ^ b sein. Da \a — b] + b -^n 

 wird, soll der Annahme nach D {(a — b\ A ^y ^) ^us D [a — b, c) D [b, c) 

 folgen; es ist aber wieder Dia — b,c] eine Folge von D{a,c)D[b,c) 

 (Korollar des Satzes 24) und endlich ist (Df. 10) in diesem Falle ia — b) A ^ 

 --^aA^- '^Iso folgt Dia Ab, aus D {a, c) D ib, c). Im dritten Falle, 

 a <C b, geht es genau ebenso. 



Die Sätze 37 und 38 drücken zusammen die charakteristischen Eigen- 

 schaften des gröfaten gemeinschaftlichen Teilers aus. 



Satz 39. D (ff, b) + [a A b = b). 



Bew^eis: Dem Satze 37 zufolge haben wir D ib, a /\ b). Anderer- 

 seits folgt D{aAb,b) aus D (a, b) D (b, b) (Satz 38). Aus D (b, a A b) 

 Dia A b, b) folgt aber a Ab = b (Korollar 2, Satz 25). 



Korollar: ab A ^ ~ '^• 



Satz 40. ac A bc = ia A b) c. 



Beweis: Der Satz ist richtig für beliebige a für b — 1 und für be- 

 liebige /; für ff = 1 , wie aus dem Hilfssatze des Satzes 37 und dem Korollar 



