TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



des Satzes 39 sofort folgt. Wir nehmen deshalb die Gültigkeit des Satzes 

 für a + b <C n schon als bewiesen an und beweisen auf dieser Grundlage 

 die Gültigkeit für solche a und /), dafe a + ô = ii ist. Erstens kann a = ô 

 sein. Dann ist auch ac = bc, und nach Df. 10 haben wir ac /\ bc = ac und 

 a /\ b ^ a, wodurch ac /\ bc =^ (a /\ b] c wird. Der zweite Fall ist a ^ b. 

 Da in — b) + b <C^ u wird, so ist nach der gemachten Voraussetzung 

 {a — b) c /\ bc ^ {{n ^ b) /\ b) c. Aufaerdem ist aber a /\ b = {a - b) /\ b, 

 und da auch ac ^ bc wird (Satz 1 4), mufa nach Df. 10 [ac — bc) /\ bc 

 = ac A ^^^' sein. Endlich ist {a — b) c = ac — bc (Satz 35). Also gilt die 

 Gleichung ac A\ bc = {a /\ b) c. Im dritten Falle, a \ b, geht es natürlich 

 ebenso. 



Definition: Wir sagen, daf? zvei Zahlen a und b relativ priiii sind, 

 wenn a /\ b =■ 1 ist. Ich führe kein besonderes Symbol dafür ein, da wir 

 ja immer die kurze Gleichung a /\ b =^ \ als Ausdruck dafür anwenden 

 können. 



Satz 4 1 . D (ac, b){a /\b -= 1 ) + D {c, b). 



Dies ist der bekannte Satz, dafa eine Zahl b, die in einem Produkt ac 

 aufgeht, während sie zum Faktor a relativ prim ist, in dem anderen Faktor c 

 aufgehen mufa. 



Beweis: Aus D [ac, b) D [bc, b) folgt (Satz 38) D [ac /\ bc, b). Aus 

 a /\ b —' \ folgt aber (Satz 40) ac /\ bc = c, so dafa also D [c, b) wahr 

 werden mufa. 



Satz 42. [a Aà = DD [a, a') + [a A ^ = 0- 



Beweis: Dem Satze 37 zufolge gilt D (a , a A b) D [b, a A l^^'y ^^is 

 D [a, a] D [a , a A b) folgt aber (Korollar des Satzes 20) D [a, a A b), das 

 mit D [b, a A b) (Satz 38) D [a A b, a' A b) gibt. Dann mufa also aus 

 [a /\ b = 1) D [a, a) sicher a' A b — 1 folgen ; denn aus D [\, a) folgt a = l 

 (Korollar 1, Satz 25). 



Satz 43. [a A b ^ \] + [a Ac ^ H + ia A bc -= \ ). 



Beweis: Geht eine Zahl </ sowohl in a als in bc auf, mufî (Satz 42) 

 sowohl d A b = \ wie d A c ^^- 1 sein, falls [a A b ^ 1) (c/ /\ r =-- 1) besteht. 

 Weiter mufa aus D [bc, d) ic A <^ = •) nach Satz 41 D [b, d) folgen. Aus 

 D [b, d) folgt aber b A (^ ^ '^ (Satz 39); andererseits war b A (^ ^ ^ '< ^Iso 

 <■/= 1. Nun geht aber (Satz 37) a A be sowohl in a als in bc auf; also ist 

 a Abc ^- 1 . 



Satz 44 (Verallgemeinerung des Satzes 41). D [ac, b) + Die, — TTtI- 



Beweis: Erstens ist klar, dafa — ^-r A — ä — 7 ^ 1 sein muf?; denn 



a A b o A b 



nach dem Satze 40 haben wir ( — ^ A — TT 1 '^^ A b) - [a A b). Aus D [ac, b) 



\a A b a /\ bj 



folgt (Satz 26, Korollar) D \ — ^— , — -. — - , woraus nach Satz 41, da 



a A b ' a A b ' ~ (^ A b 



und — T — - relativ prim sind. Die, — r — r 

 a /\ b \ a /\ 0) 



