1923- ^^C«- 6. BEniiVSDVSG DER ELEMENTAREN ARITHMETIK. 



Dr. 11. a\/ b = -^ 



Satz 45. J \a, h, d\ D \a, c) + Jia, h / c, d\. 



Beweis: Richtig, wenn d ^ \ \ denn aus Ui = h]DUi,c) lolgt D [d, c), 

 woraus (Satz 391 ô /^^ c — c und folglich nach Df. 11 b\/ c = b. Ich setze 

 die Richtigkeit für d voraus und beweise sie für d + \. Aus A{a, b,d -\- 11 

 folgt entweder J [a, b, d), das mit D [a, c) der Annahme nach A {a, b \/ c, d) 

 und also auch A\a, b\/ c, d -r 1 ) gibt, oder a = b id + \), das mit D ia, c) 



(Satz 44) D-.d — 1,7—7 — I öit>t. Mit Hilfe des Satzes 27 erhalten wir 

 \ b /\ cj 



aber aus (^7 = b {d + \))Dld -^ 1 . 7—^ — - j wieder J (^7, b \/ c, d + 1 ). 



Satz 46. D ia \/ b, a\ D ia \/ b, b). 



Nach dem Satze 37 gilt D {a, a /\ b), woraus (Satz 26, Korollar) 



£){ ^^.'^ .b], d. b. D Ui \/ b, b). Ebenso erhält man aus D \b, a \ b) die 

 Wahrheit von D [a V b, n). 



Satz 47. D [c, a) D (c, b\ - D\c,a \/ b). 



Dies ist blofa ein Spezialfall des Satzes 45. der durch Gleichsetzen 

 von d und a entsteht. 



Die Sätze 46 und 47 drücken zusammen die charakteristischen Eigen- 

 schaften des kleinsten gemeinschaftlichen Vielfachen zweier Zahlen a und b 

 aus. Es bedeutet also a V f> das kleinste gemeinsame Multiplum von ^7 und b. 



Ein wichtiger Spezialfall von Satz 47 ist der, da ^ /\ 6 = 1 ist. Aus 

 D [c, a) D [c, b) {a Aà = 1 ) folgt D {c, ab). 



Dem Satze 39 entsprechend haben wir: 



Satz 48. D \a, b) + {a \' b = a). 



Die Richtigkeit dieses Satzes folgt sofort aus dem Satze 39 und der 

 Definition 1 1 . 



Dem Satze 40 entsprechend haben wir: 

 Satz 49. nc \/ bc = ia \j b) c. 



T~. • \ / 7 ac ■ bc ac ■ bc ab ■ c , \ 1 u\ 



Beweis : ac\^ bc -^ j—r- = - — ^-7^ == "TTÄ = '« V ^) c, 



a c A bc [a /\b) c a /\ b 



wobei von den Sätzen 11, 1 3, 32 und 40 Anwendung gemacht ist. 



Ich will diesen Paragraphen damit schlietàen einen Beweis dafür zu 

 geben, dafe die oben angewandten weitläufigeren Arten der rekurrierenden 

 Definition und des rekurrierenden Beweises sich blofe formal, nicht real, von 

 dem gewöhnlichen einfachen Rekursionsverfahren von fi aut ;/ + 1 unter- 

 scheiden. Die normale Form der rekurrenten Definition besteht ja darin, 

 dafe eine Aussagenfunktion C ix) zuerst tur .v = 1 definiert wird und dann 

 für A- = // -^ 1, wenn L'in) schon definiert ist. Oben haben wir aber 

 auch so rekurrierend definiert: Zuerst Tdl und dann L'{>i\, wenn l' {in) 



