TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



für beliebige ;;/ <C '^ als definiert angenommen war. Es ist klar, daf3 der 

 Wert der Aussagenfunktion U iy) [y ^ .v) für beliebig gewählte .v und _v 

 bekannt sein wird, falls U iy) für die betreffenden y definiert ist; aber 

 umgekehrt wird auch bekannt sein, ob U{y) wahr oder falsch ist für ein 

 V ^ -v, wenn U{y){y ^x) für die betreffenden .v und _v definiert ist. Um 

 U{x) zu definieren, wird es also hinreichen U{y){y ^ .v) für beliebige .v undv 

 zu definieren, wobei aber bemerkt werden kann, dafs für jedes Wertepaar 

 {x,y], für welches V > -r ist, U(y){y^x) notwendig falsch sein muf3. Um 

 den Wert von U( v) {y ^ .v) allgemein zu bestimmen, können wir nun das nor- 

 male rekurrierende Verfahren anwenden. Für x= 1 ist 6Mj') (.v ^ .r) not- 

 wendig falsch nach der Definition der Kleinerrelation, wenn v > 1 ist; 

 wir haben also blofe U {\) 7.\i bestimmen, um den Wert von U(y){y^ 1) 

 für beliebige y zu haben. Weiter bestimmen wir den Wert von U{y){y^x) 

 für X + 1 für beliebige y, falls er für x für beliebige _v schon bestimmt 

 ist. Ist _v > .V + 1, ist U{y){y^x + 1) falsch. Ist y^x, kennen wir 

 schon den Wert der Aussagenfunktion, d. h. wir haben bloß U [x + 1) zu 

 bestimmen. Also: Die Bestiinnuiug des Wertes von U ix + 1), weim diese 

 Funktion für beliel)ige y < x + 1 als bekannt angesehen wird, ist nichts 

 anderes als die Bestiinnuing des Wertes der Anssa genfunktion U [x){y -^x) 

 ßir X ^ n + 1 für l)elie[)ige y, luenn sie für x = // für beliebige y schon 

 bekannt ist. Hierdurch ist also die scheinbar abweichende Art der rekur- 

 rierenden Definition auf die normale Form derselben zurückgeführt. 



Ebenso ist es leicht zu sehen, dafa die weitläufigere Form des Induk- 

 tionsschlusses, darin bestehend, dafa man für n beweist, wenn die Richtig- 

 keit des zu beweisenden Satzes für beliebige ni < n angenommen wird, 

 sich blofà formal und nicht real von der Normalform des Induktionsschlusses, 

 dem Schlüsse von ;/ auf Ji + \, unterscheidet. Dafe Uiy) bewiesen ist für 

 beliebige y < x ist ja damit gleichbedeutend, dafs {y ^ x) -f Uiy) für dieses 

 x'füv beliebige V bewiesen ist, und es ist dann nicht schwer zu sehen, 

 daß der Beweis von U ix), wenn Uiy) für beliebige y <i x als richtig an- 

 genommen wird, damit gleichbedeutend ist iy ^ x + 1) + U iy) für beliebige 

 y zu beweisen, -wenn iy'^x) + Uiy) für beliebiges y schon beiviesen ist. 



§ 7. 



Der Begriff der Primzahl. 



Df. 12. Pix, 1) wahr. Pix, y + 1) =- Pix, y) (U = j' + 1) + 



+ Dix, y + n). 

 Df. 13. Pix) =- Pix, x) ix ^ 1). 



Die Aussagenfunktion Pix) bedeutet: „x ist eine Primzahl". 

 Df. 14. De ix, 1) falsch. De ix, y + = De ix, y) + 



+ Dix, y + l)(.v + 1 <x). 



