1923- ^'"'- Ö- BEGRÜNDUNG DER F.LFMKNTARF.N ARITHMF.TIK. 23 



Df. 15. Dp ix, II falsch. Dp(x,y ^ 11 = Dp(x,y) + 

 + D{x,y + l)P{y + II. 



Df. 16. T{1) wahr. Tix +11=- T[x)Dp{x + \,x + II. 



Bei der gewöhnlichen Definition des PrimzahlbegrifFes wird eine schein- 

 bare X'eränderliche benutzt. Wird die Teilbarkeitsrelation schon als definiert 

 angesehen, so geschieht die Primzahldefinition wie folgt: 



Pix) - (.r + II /7 (Z> (x,y] + iy = l) + {y - x)) 



y 



Es kommt hier ein unendliches Aussagenprodukt loder m. a. W. das 

 Russell- WHiTEHEAo'sche „always"} vor. In den obigen Definitionen 12 und 

 13 kommt aber keine scheinbare Veränderliche vor. Die Möglichkeit dafür, 

 das unendliche Aussagenprodukt zu vermeiden, steckt darin, daß dies sofort 

 durch ein endliches ersetzt werden kann. Nach dem KoroUar des Satzes 25 

 mufa ja _v ^ .r sein, falls D {x, y) wahr ist, und daraus folgt, daß in dem 

 unendlichen Produkte alle Faktoren, wo v ^ x ist, wirkungslos werden. Des- 

 halb können wir Pix) ebenso cut so definieren: 



Pix) - (jtr 4: II n, {D {x,y) + iy = l) + (y = x)). 



Das hier vorkommende endliche Aussagenprodukt ist gar nicht anderes 

 als der Faktor P{x,x) rechts in Df. 13, wobei PU, v) durch Df 12 rekur- 

 rent definiert ist und mit dem Produkte 



77, (D ix, 3) + (z = x)) 



gleichbedeutend ist. Eben weil diese Aussagenprodukte endlich sind, können 

 sie rekurrierend definiert werden, wodurch die scheinbaren \'eränderlichen 

 völlig vermieden werden. 



Die übrigen oben eingeführten Aussagenfunktionen De, Dp und T haben, 

 wie leicht einzusehen ist, in Worten folgende Bedeutungen : 



Dc{x,y) bedeutet: ,x ist durch eine Zahl teilbar, die >■ 1, ^y und 

 <C X ist'. 



Dpix.y) bedeutet: ,x ist durch eine Primzahl, die -^y ist, teilbar'. 



Tix) bedeutet, daf3 alle Zahlen von 2 bis x durch mindestens eine 

 Primzahl < x teilbar sind. 



Satz 50. P(x,y) D (x, z) iz ^ vi + iz = II + (s = x). 



Beweis: Wenn v = 1 ist, so ist der Satz selbstverständlich richtig. 

 Ich beweise den Satz für v + 1 unter Voraussetzung seiner Gültigkeit für j-. 

 Aus z^y + 1 folgt entweder z :^y oder z =y + 1. Aus ^ ^_v in Ver- 

 bindung mit Pix,y), das ja aus Pix,y+ l) folgt, und D ix, z) erhalten 

 wir der Annahme nach entweder z = 1 oder z ~ x. Aus ^r = v + 1 in 



Verbindung mit ix = y + 11 -t- Dix. y + 11, das ja auch aus Pix, y + II 

 folgt, und Dix,z) erhalten wir z = x. 



