24 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



KoroUar: P(x)D{x,y) + iy = 1) + i y -^ x). 



Denn aus P{x,x){xtt \)D{x,y) folgt ja (Satz 25) P{x,x) D(x,y) 

 ( V ^ x), woraus nach dem eben bewiesenen Satze (^v = 1 ) + (_v = x). 



Satz 51. Piy) + D(x,y) + {x /\y = 1). 



Beweis: Da D (y, x /\y) wahr ist (Satz 37), mufe, wenn P{y] gilt, 

 nach dem Korollar des Satzes 50 entweder x /\y ~- 1 oder x /\ y =^ y 

 sein; aber aus x /\y ~y folgt D{x,y) (Satz 37). 



Satz 52. D{xy, z} P (z) + D {x, z) + D (y, z). 



Beweis. Nach dem vorhergehenden Satze gilt, wenn P{z) wahr ist, 

 entweder D {x, z) oder x /\ z = 1. Aus D {xy, z) P{z) muf? also entweder 

 D ix, z) oder D {xy, z)(x /\ z = 1 ) folgen ; aber aus D {xy, z) (x /\ z = 1 ) 

 folgt wieder (Satz 41)1) ( v, z). 



Satz 53. P{x,y) + Dc{x,y]. 



Beweis: Richtig für _y = 1, weil schon P{x, 1) wahr ist (Df. 12). Ich 

 setze die Richtisrkeit dieses Satzes für v voraus und beweise auf dieser Grund- 



lage die Richtigkeit für v + 1. Aus P{x,y + 1) folgt (Df. 12) entweder 

 Pix,}!), woraus also De {x, y) und folgHch auchZ)r(x,j' + 1) (Df 14), oder 

 X ^ y + \)D{x,y + 1), woraus (Korollar 1, Satz 25) D{x,y + 1) (.y + 1 < x), 

 was kraft Df. 14 De{x,y + 1) gibt. 



Satz 54. {y^y')Dp{x,y) + Dp{x,y'). 



Beweis: Selbstverständlich richtig, wenn y ~- 1. Ich setze die Richtig- 

 keit für y voraus und beweise den Satz dann für y' + 1. Aus y ^y' -\- 1 

 folgt entweder y ^ y , was mit Dp{x,y) der Annahme nach Dp{x,y) und 

 also (Df. 15) auch Dp\x,y' + 1) zur Folge hat, oder j/ = J^'' + 1, das mit 

 Dp{x,y] natürlich Dp{x,y + 1) nach sich zieht. 



Satz 55. D {x, y) Dp iy, z) + Dp [x, z). 



Beweis: Für ø = 1 ist dieser Satz richtig, da Dp {y, 1) falsch ist (Df 15). 

 Ich setze also die Gültigkeit des Satzes tür z voraus und beweise sie dann 

 für s + 1 . Aus Dp {y, z + \) erhalten wir (Df 1 5) entweder Dp ( y, z), das 

 mit D{x,y) also Dp{x,z) und folglich auch Dp {x, z + 1) zur Folge hat, 

 oder D (y, z + 1) P(s + 1), das mit D {x,y) nach dem Korollar des Satzes 20 

 die Wahrheit von D {x, z -\- 1) bewirkt, woraus nach Df. 15 Dp {x, z + 1). 



Satz 56. Dp {x, y) + Dp {x, x). 



Beweis: Nach Definition 15 muß dies für y = 1 richtig sein. Ich 

 setze die Richtigkeit für v voraus und beweise sie für^v + 1. Aus Dp {x,y + 1) 

 folgt entweder Dp{x,y), woraus dXso Dp {x, x), od&r D{x,y + \)P{y + 1), 

 woraus nach dem Korollar 1 des Satzes 25 j' + 1 ^x; aber ?ius, Dp{x,y + 1) 

 {y + \ ^x) folgt (Satz 54) Dp [x, x). 



Satz 57. De{x,y) T{y) + Dp {x, x). 



Beweis: Der Satz gilt für j' = 1; denn De{x, 1) ist falsch. Ich setze 

 die Gültigkeit des Satzes für v voraus und beweise den Satz für v + 1. 



