1923. No. 6. BEGRÜNDUNG DE?> El.F.MENTA REN AR1THMF:-T:K. 25 



Aus Drix, y 4- 1) Tiy 4- Il folgt entweder De{x,y) T(y + 1), woraus (Df. 161 

 De {x,y) T{y), woraus der Annahme zufolge Dp ix, x), oder D{x,y+ 1) 

 (_v + 1 <-r) Tiy + II. woraus (Df. 16)D(a-._v + 1)0'+ 1 <x)Dp{y^\,y+ 1 ), 

 woraus wieder nach dem Satze 55 Dp{x,y -*- \){y + 1 <C^ .vi, was (Satz 54) 

 die Gültigkeit von Dp l.v, .v) bewirkt. 



Satz 58. T(x). 



Beweis: Richtig für x = 1 (Df. 161. Ich beweise die Gültigkeit von 

 T{x + 1) unter \'oraussetzung der Gültigkeit von 7~(.vl. Nach Df. 16 brauche 

 ich zu dem Ende nur Dp ix — 1 , .v -^ 1) zu beweisen. Nach Df. 13 haben 

 wir entweder P l.v - II oder P [x -r 1 . .v + 1 ). Aus P{x + \)D{x + 1 , x + 1 ) 

 folgt nach Df. 15 Dp ix ^ 1, -v - 1 ). Aus Pix + \,x -r II folgt nach dem 

 Satze 53 De ix + \, x ^ 1 1, was De ix + 1, .vi (siehe Df. 141 zur F"olge haben 

 mufe; aus De (x + \, x) 7" l.v) folgt aber nach dem Satze 57 Dp{x -f 1, .v + II. 



Korollar : Dp {x + l,x + 1 ). 



Denn aus T(x + 1) folgt ja (Df. 161 Dp {x - l,.v + 1). 



Dies ist der Satz, dafa jede Zahl ^ 1 durch mindestens eine Primzahl 

 teilbar ist. Eigentlich bedeutet ja Dp Lv -t- 1, .v -^ II, dafà .v -f 1 durch minde- 

 stens eine Primzahl ^ .v -!- 1 teilbar ist. 



Um nun den Satz, dafä jede Zahl ^ 1 ein Produkt von Primzahlen 

 ist, formulieren und beweisen zu können, führe ich eine ternäre Relation 

 P{x,y, z) ein, die bedeuten soll: ,x ist das Produkt von \' Primzahlen, die 

 alle ^ z sind'. 



Df. 1 7. P l.v, V, z) = P (x, V, 3 — 1 1 4- P f- , V — 1 , ; I P (sl D ix, z\. 



P I.V. 1 , ø) = (.V ^ z) P ix). P {x,y, 1 ) falsch. 



Es ist dies eine doppelt rekurrierende Definition, nämlich rekurrierend 

 sowohl in bezug auf _y wie auf z. Es wird Pix, 1, z) für beliebige z (und .vi 

 definiert, und wird dann angenommen, daß Pl.v, v — l,z\ für beliebige z 

 (und -vl schon definiert ist, so haben wir mit Hilfe der ersten Gleichung 

 der Definition 17 und der Festsetzung, daß P(.v,^', 1) falsch sein soll, eine 

 rekurrierende Definition der Aussagenfunktion Pix,y, z), nämlich rekurrierend 

 in bezug auf z. Durch die letzte Festsetzung der Df 17 wird jaP(.v,v, 1) 

 bestimmt und durch die erste Gleichung wird P(x,y,z) auf Grund der 

 Voraussetzung, daß P(.v,j' — 1,^1 schon bekannt ist, bestimmt. 



Ich will noch drei andere Aussagenfunktionen einführen : 



Df. 18. P' ix, 1, z) = Pix, \,z) P' ix, y + \,z) = P' ix,y, z) + 

 + Pix, y - \,z). 



Df. 19. nix) = P'ix,x,x). 



Df. 20. /7' ( 11 wahr. /7' (x -4 1) = /7' (xl Uix ^- 1 1. 



Die Aussage P' ix,y, z) bedeutet augenscheinlich, daß x ein Produkt von 

 höchstens y Primzahlen, jede ^ s, ist. Die Aussage 77 (xl bedeutet, daß 

 X ein Produkt von höchstens x Primzahlen, jede ^ x, ist. 77' (x) bedeutet, 

 daß alle Zahlen y von 1 bis x entweder gleich 1 oder ein Produkt von 



