26 TH. SKOLEM. M.-X. Kl. 



höchstens y Primzahlen ^y sind, oder m. a. W., dafà alle Zahlen v von 

 2 bis X ein Produkt von höchstens y Primzahlen ^ i' sind. Das eigentliche 

 Ziel der folgenden Entwicklungen ist die Allgemeingültigkeit von FI {x + i) 

 zu beweisen. 



Satz 59. P{x,y, z) (z ^ z') + P{x,y, z'). 



Beweis : Dieser Satz ist selbstverständlich richtig, wenn z' =^ 1 ist. 

 Ich beweise den Satz für z' + 1 unter Voraussetzung der Gültigkeit für z'. 

 Aus z^z' + 1 folgt entweder z ^ z' , das mit P{x,y,z) also P(x,y,z') 

 und folglich auch (Df. 17) P(x,y,z' + 1) zur Folge hat, oder z = z' + 1, 

 und aus (z = z' + 1) P{x,y, z) folgt selbstverständlich wieder P{x,y, z + 1 ). 



Hiltssatz 1 des Satzes 60: Plx^, 1, 2) Pix,, l, z) + Plx^x.,, 2, z). 



Beweis: Richtig für z = I ; denn schon P(x^, 1,1) ist falsch (Df. 17 

 und 131. Ich beweise den Satz für z + 1 unter Voraussetzung seiner Gültig- 

 keit für z. Aus P(Xi, 1,2 + \)P{Xo, 1,2 + 1) folgt nach Df. 17 entweder 

 P(Xi, 1, 2) Pix,, 1, 2), woraus also Plx^x,, 2, 2), das wieder Pix^Xo, 2, 2 + 1) 

 zur Folge hat, oder U'i = 2 + DPIx^lPlx.j, 1,2 + 1) oder (x, = 2 + 1) 



P(x2)P(Xi, 1,2 + 1). Aus PI2 + l»^(rTT- 1-- + 1) folgt aber (Df. 17) 



Plx^Xo, 2, 2 + 1), und analog geht es im dritten Falle. 



Hilfssatz 2 des Satzes 60. Plx^, j, 2) Plx.^, 1,2) + P (x^x.^, y + 1, 2). 



Beweis : Nach dem ersten Hillssatze ist dies richtig für ji' = 1 . Ich 

 beweise die Richtigkeit des Satzes für v + 1 unter Voraussetzung der 

 Gültigkeit für y. Aus Pix^,y + 1,2) Pix,, 1,2) erhalten wir nun sicher 

 P{Xj^X2,y + 2,2) falls 2=1 ist; denn Pix,, 1,1) ist falsch. Ich setze des- 

 halb die Gültigkeit dieses Schlusses für y + 1 für 2 voraus und beweise 

 dann die Gültigkeit für 2 + i. Aus P{x.^,y + 1,2 + DPIx.^, 1,2 + 1) er- 

 halten wir iDf. 17) drei Alternative: 1) Schon P{Xj^,y + 1,2) Pix,, 1,2) ist 

 gültig; dann haben wir der Annahme nach Pl.Vj^x.,, v + 2, 2), woraus (Df. 17) 



P(XiX.,,^v + 2,2+ 1). 2) WirhabenP(^^^,^v,2+ 1 Jp(2 + 1 )P(x.,, 1, 2 + 1 ). 

 Aus Pi—^—, V, z + 1 |Plx„, 1,2+ 1) folgt aber, da unser Satz für v für 



V2 + 1 - ; - 



/ ^1 X, \ 



beliebige 2 als richtig vorausgesetzt war, P ,'■, >y + 1,2 + 11, das mit 



PI2 + 1) kraft Df. 17 P(x,x,,.v + 2. z + 1) zur Folge hat. 3) Wir haben 

 P{x^,y + 1,2+ Dix., = 2+ DPix.,); daraus erhalten wir aber IDf. 17) 

 P|.VjX.,,.v + 2, 2 + 1). 



Satz 60. Plx^,j'i, 2) Plx2,^v.2, u) (?/ ^ 2) + P(x^x.y,yi + j\,, 2). 



Beweis : Dieser Satz ist jedenfalls richtig, wenn v^ = 1 oder v., = I 

 für beliebige Werte der übrigen \'ariablen kraft Hilfssatz 2. Er gilt also 

 sicher für den kleinsten möglichen Wert der Summe v^ + r., + 2 + //, 

 nämlich 4, wobei y^ ^= y.^ = z = u = 1 sein mufs. Ich beweise wie folgt 

 die Richtigkeit des Satzes für solche Werte von .v^, v.,, 2 und //, dafa 



