1923. No. 6. BF.GRLNDUNG DER ELEMENTAREN ARITHMETIK. 27 



\\ — \o — : — II — n ist, wenn die Richtigkeit für die Fälle, da v^ -t- j., -r 

 -j- 2 -r « = « — 1 ist, vorausgesetzt wird. Pl-V^, i'^, :) ist damit gleichbe- 

 deutend. dat3 entweder P(.v,,Vi.r— II oder Pl^.y^ — \. z] Pi:) Dix. :) 



iv P(^..v, - l.z] 



stattfindet. Außerdem haben wir entweder n ^ : — 1 oder u = z. Die erste 

 Alternative ist deshalb P Ix^, v^, r — 1) PlXc,, v,, //Mk ^ 2 — 1). Da aber 

 v'i i- .v., -f (2 — 11 — // = // — ! wird, so folgt nach der gemachten Voraus- 

 setzung Plx^-v.,, v^ — V.,, r — II, und daraus wieder (Df. 171 P(XiXo,,Vi -fjä.zl. 

 Die zweite Alternative wird Pix^, \\, z ~ 1 1 Plx,,.^'.,, ^). Da aber auch 

 hier i^ -^ v., -f-r — 1 — r = // — 1 sein muß, so folgt P\x^x^,\\ 4- Vo, '•• Die 



dritte Alternative ist p{'-^. \\ — 1. ~) -P*'' P '->--2' ^i^ "' '" ^ -'• Daraus folgt 



aber, da ^v^ — 1 - .v., - r -// = ;/— 1 wird, Pi^^^,\\ + .v., — 1, cJPlrl, 



und daraus wieder iDf. 171 P{Xj^x.y,\\ -r .v.,. rl. 



Korollar: Plx^, v^, rl Plx.,,.v.,, z) -r P\x^x..,\\ ^ y.,, zl 



Hilfssatz: P' \x^,\\, :) F lx_,..v.,. rl ^ P' i-Vi.v._,._Vi - ,v.,. z). 



Beweis: Richtig für .v^ =1 (Df. 18 und Hilfssatz 2, Satz 601. Ich be- 

 weise die Richtigkeit für y^ — 1 unter \'oraussetzung der Gültigkeit für \\. 

 Aus P'Ui, >'i -f l,r) folgt entweder P'{x^,y\,z\, das mit P(x.,,y.,, r) nach 

 der \'oraussetzung P' Lv^x,. \\ ^ y.,. z) und also auch P ix^x.yy\ — v., — 1. :l 

 zur Folge hat, oder Plx^.y^ + l.rl, woraus in Verbindung mit Pix,, y.,, rl 

 nach dem Korollar des Satzes 60 PlXj.v.,, \\ -^ 1 -r y.,, z\ folgt, woraus 

 wieder iDf. 181 P' ix^x.., \\ - 1 - y.,. -I. 



Satz 61. P' i.Xi, \\, rl P' (x,, y.,, :l - P' i-ViX.,. .v^ - y.,, zl. 



Beweis: Nach dem Hilfssatze ist dies richtig für y.^ = 1. Ich beweise 

 die Richtigkeit des Satzes für y., -r 1 unter Voraussetzung seiner Richtigkeit 

 für ,v.,. Aus P' (X.,, y., -^ 1, rl folgt (Df. 181 entweder P' (x.,, y.,, z), und daraus 

 dann mit P'(x\,y^,rl der gemachten \'orau5setzung zufolge P (.XiX.,.yi — .V-..-* 

 und also auch P' IXiX,, y^ -r y.> ^ \,z), oder P(x.,.y.3 — \,z), das mit 

 P' Ix^. y\, z) nach dem Hilfssatze P' (x^x,. y\ — y. ~ 1, rl zur Folge hat. 



Hiltssatz : P' (x, y, z) ^ P' (x. y, r - II. 



Beweis: Richtig für y = 1 kraft der Definitionen 17 und 18. Ich 

 beweise diesen Satz für y -t- 1 unter X'oraussetzung seiner Gültigkeit für y. 

 Aus P'{x,y ^ l,z) folgt entweder P' l.r, y, rl, woraus also P' ix, y, z + II 

 und daraus wieder (Df. 181 P' {x. y - l.r - 11, oder Pix, y + l.rl, wor- 

 aus iDf. 171 Pi.v. y - l.r - li und daraus (Df. I8I P' l.v, y - l,r -r II. 



Satz 62. P'(A-, y, ri(r ^r'l - P'l.r.y, r'l. 



Beweis : Selbstverständlich richtig, wenn r' = 1 . Ich setze die Richtig- 

 keit des Satzes für r' voraus und beweise dann den Satz für z -i- 1 . Aus 

 z^z' ~ 1 folgt entweder r ^ r', und aus P' ix, y, rl (2 ^ r'l folgt nach der 

 gemachten Annahme P' l.v. v. r'l und daraus nach dem Hilfssatze P ix. y. r -r 1 1, 



