TH. SKOLEM. M.-X. Kl. 



oder 2 = 2'+ 1 , und daraus in \'erbindung mit P \x, y, z\ folgt selbstver- 

 ßtändlich P' Lv, y, z + 1 ). 



Satz 63. P' \x,y,z)[y^y\ + P' \x, y , z). 



Beweis: Selbstverständlich richtig, wenn y =1. Ich setze die Richtig- 

 keit des Satzes für y voraus. Aus y ^ y + 1 folgt entweder y ^ y oder 

 y —- y + 1 . Aus P' (.V, y, cM y ^ y) folgt nun der Annahme nach P' [x,y' ,z\ 

 und also (Df. 181 auch P'[x,y + \,z\. Aus P' {x,y, z)[y = y + II folgt 

 natürlich P' {x,y' -^ \,z). Der Satz gilt also auch für y' + i. 



Satz 64. ix = 1) + (y = 1) + /7(xl + //(y) + 77 Uy). 



Beweis : Da nach dem Satze 15 x ^ xy und ebenso y ^ xy sein 

 mufe, folgt aus P' [x, x, x)P' [y,y,y), d. h. 77U) 77(y), nach dem Satze 62 

 P' (X, X, xy) P' (y, y, xy). Nach dem Satze 6 1 folgt aber aus P' (x, x, xy) 

 P' ly, y, X}') wieder P' (xy, x + y, xy). Ist nun aufserdem (x >> 1 ) (y > 1 ), so 

 ist X + y-^xy, so dafs wir durch Anwendung des Satzes 63 P' (xy, X}-, xy), 

 d. h. 77 (x^'), erhalten. Aus (x> 1) (y > 1) 77 (x) 77 (y) folgt also 77 (xy), was 

 zu beweisen war. 



Hilfssatz 1 (zum Satze 65). 77'(xl(y^x) + 77' (y). 



Beweis : Selbstverständlich richtig für x = 1 . Ich setze die Richtigkeit 

 des Satzes für x voraus. Aus y ^ x + 1 folgt entweder y ^ x oder 

 y = X -T- 1 . Aus 77' (X + 1) folgt (Df. 20) 77' (x), und also folgt aus 77' (x + 1 ) 

 (y ^ X) erstens 77'(x)(y^x) und daraus weiter 77' (y). Aus 77 (x + 1) 

 ( V = X + 1) folgt natürlich 77' (y). 



Hilfssatz 2 (zu Satz 65). J (x, y, 2)77(y) 77' (z) (y > 1) + 77 (x). 



Dies ist richtig, wenn 2=1. Ich setze die Wahrheit des Satzes für 2 

 voraus. Aus J (x, y, z + I ) folgt (Df. 5 ) entweder A (x, y, z) oder x = y (s + 1 ). 

 Aus J (x, y, s) 77(y) 77' (s + l)(y> 1) erhalten wir nach der Definition 20 

 A (X, y, z) Iliy) 77' (e) (y > 1) und daraus nach der gemachten Annahme 77(x). 

 Aus (x = y (s + 1 1) n{y) 77' (z + 1) (y > 1 ) folgt (Df. 20) {x = y {z + 1 )) 

 77 (y) 77 (5+ l)(y> II und daraus nach dem Satze 64 77 (x). Der Satz 

 gilt also auch für 5 + 1 . 



Hilfssatz 3 (zu Satz 65). De (x, y) W {x — 1) + 77(x). 



Beweis: Dies gilt für y = 1, wie aus Df. 14 zu sehen ist. Ich setze 

 die Gültigkeit des Satzes für y voraus. Aus De{x,y + 1) folgt (Df. 141 

 entweder De [x, y) oder D {x, y + 1) (y + 1 < x). Aus De [x, y) 77' (x — 1 ) 

 soll nach der Annahme /7(x) folgen. Nach der Definition- 2 mufe D{x,y + 1) 

 (y + 1 << x) mit Dix, y + l)(y + 1 ^x— 1) gleichbedeutend sein; aus 

 77' (x— 1) (y + 1 ^ X— 1) folgt aber (Hilfssatz 1) 77'(y + 1), woraus 

 77 (y + l)(Df. 20), und da aufserdem, wie leicht zu sehen, D{x,y+ 1) = 

 J (x, y + l,x — 1) sein muf3 (siehe die Definitionen 5 und 6), so folgt aus 

 D{x,y+ l)77(y + l)77'(x— 1) nach dem Hilfssatz 2 77 (.v). 



Satz 65. 77' (x). 



Beweis: Richtig für x = 1 (Definition 20). Ich setze die Wahrheit von 

 77' (x — 1) voraus und beweise dann 77(x), wodurch auch 77' (x) bewiesen 



