IQ23. Xo. 6 BE :;R"\r>/NG :jER ELEMENTAREN ARITHMETIK. 29 



wird (Df. 201. Entweder gilt Pix) oder Pix). Aus P(.vl folgt iDf. 171 

 Pi.v. l,.v). d. h. (Df. 181 P' ix, \,x), worars nach Satz 63 P' (a-, .v. .vi. d. h. 

 //lA-i. AusPU)U>l) folgt P(A-, a:) (Df 13), woraus (Satz 53) De ix, x). 

 Dr ix, x) If' ix — 1) hat aber nach dem dritten Hilfssatze II ix) zur Folge. 



KoroUar: II ix ~ II. 



Denn nach Df. 20 folgt FI [x + 1 1 aus II ix + II. Dies ist aber der 

 wichtige Satz, daf3 jede Zahl ^ 1 ein Produkt von Primzahlen ist. 



.^ 8. 



Einige explizite Anwendungen endlicher logischer Summen 



und Produkte. 



Gilt es nur, die Anwendung unendlich ausgedehnter logischer Veränder- 

 lich-^n zu vermeiden, so kann man doch natürlich von endlich ausgedehnten 

 \'eränderlichen freien Gebrauch machen, und dies auch ohne sich darum 

 zu kümmern, wie diese mit Hilfe rekurrierender Definitionen vermieden 

 werden könnten, noch darum, wie die Schlüsse, welche mit deren Hilfe 

 gemacht werden, mittels vollständiger Induktion auf Grund derjenigen Schlüsse 

 bewiesen werden könnten, welche für solche Aussagen gelten, in denen 

 keine scheinbaren \'eränderlichen auftreten. 



Geht man so vor, so läfet sich z. B. die Theorie der Zerlegung in Prim- 

 zr.hliaktoren einfacher darstellen, wie ich im folgenden zeige. — Ich benutze 

 die Primzahldefinition Seite 23 : 



Df. P(a-) = [x ^ \) II [D ix, y) + ly = 1) -f [y =- -vl). 



Satz 66: Z D in, p) Pip) - in = \). 



p= 1 



Beweis : Gilt für n = \. Der Satz sei gültig tar alle r < //, wobei 



n 



1. Dann gilt entweder die Aussage 2* D (//,)•) (r < ;/l (r > 11 oder 



)•= 1 



ihre Verneinung // {Din,r) -f (r = //) + (»' = 1 ») , (da ja y ^ n hier mit 



r=l 



;• = ;/ und r ^ 1 mit r = 1 gleichbedeutend ist). In letzteren Falle hat 

 man D in, n] Pin). Im ersteren Falle gilt nach der Annahme 2" Dir, p) Pip); 



n V '» 



folglich Z Z D(//, rlD(r,/)lP(/)l, woraus Z Din,p)Pip). 

 )— - 1 /. = 1 /> = 1 



u 



Da Din.p) mit der Aussagensumme Z in = rp) gleichbedeutend i.st, 



1- 1 



hat man das Korollar: 



