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H II 



Korollar: iu = l) + 1' Z [n = rp]P{p). 

 r-- 1 p---\ 



Jetzt definiere ich rekurrierend eine Aussagenfunktion, welche in Worten 



lautet: „ii ist gleich einem Produkte von // Primzahlfaktoren, welche alle 



<I // sind". 



// ;/ 



DL 2\ : P{ii,l] = P{n); P{//,ii + \)= 2' Z {u = rp) P [r, u] P [p). 



r-1 /.= 1 



Der Satz von der Zerlegung jeder Zahl ^ 1 in ein Produkt \or\ Prim- 

 zahlen läfet sich dann so formulieren : 



It 

 Satz 67: (;/ = 1) + Z P(ii, fi). 



." = 1 

 Beweis: Gilt für ;/ = 1 . Die Gültigkeit für v <C ii, ii^ \, sei voraus- 



;/ ;/ 



gesetzt. Dann gilt nach dem Korollar des Satzes 66 : ^ Z {u =^ vp) P[p). 



v=\ />- 1 



Aus [n = vp)P\p) folgt indessen v <i ii (Satz 15) und also der Annahme 



V n — 1 nun — 1 



zufolge Z Pi)',ii). Hieraus Z P{r,ii) und weiter Z 2 S {ii = rp] 



fl=\ // ^ 1 !• — 1 /) = 1 /< = 1 



H — 1 n 



P{y, ii)P{p) = 2 Piii,/i+ 1), woraus Z Pin,u). 

 /i = \ //-1 



Weiter will ich den Satz von der Existenz unendlich vieler Primzahlen 

 beweisen. Zuerst definiere ich die Funktion /;!: 



Df 22. 1 ! = 1; (« + 1)! = nl{ii + 1). 



Hilfssatz: (;« ^ //) + D{n\, ni). 



Beweis : Selbstverständlich richtig für n = 1 . Die Richtigkeit für ein 

 gewisses n sei vorausgesetzt. Ist nicht /;/ ^ w + 1 , so ist entweder m = // + 1 

 oder m <C « + 1 , d.h. ;;/ ^ ;/. Nach Df. 22 und Satz 1 8 hat man 

 D {{h + 1 )!,;/+ l). Ist Di^Ji, hat man nach der Annahme D{>/l,iii) 

 und da auch D(\>i + 1)!,«!) gilt (Sätze 16, 181, bekommt man D {\/i + 11!,;;/) 

 (Korollar des Satzes 20). 

 Ill-] 



Satz 68. Z P{p) ip ^ ;;). (In Worten : Für beliebiges ;; gibt es eine 

 p = \ 



Primzahl p^ u und ^ ;/ ! + 1 ). 



;/!-f 1 



Beweis: Nach Satz 66 gilt die Aussage Z D (til + \,p)P{p). Aus 



p=l 



D(n\ + \,p)P{p) folgt aber p ^ u. Denn wäre p ^ ;/, so folgte nach dem 

 Hilfssatz D[n\,p), und dies in Verbindung mitD(;;! + \,p) würde Z) (l,/») 

 (Satz 24, Korollar) und also p = 1 zur Folge haben, was wegen P(p) 

 ausgeschlossen ist. 



Um die Eindeutigkeit der Zerlegung einer Zahl in Produkte von Prim- 

 zahlfaktoren zu beweisen, mufe ich zuerst einige Betrachtungen über Summen 

 und Produkte beliebig vieler Glieder sowie eine Funktion I [a, b; in, ii) 

 definieren. 



