1923- -^"- 6. BEGRLNDLNG DER ELEMENTAREN ARITHMETIK. 3T 



Es sei /Ir) eine beliebige deskriptive Funktion. Ich definiere die Aus- 

 drücke -1 /!r) und II f'\r\ rekurrierend wie folgt: 



r= l r=l 



1 »1-1 « 



Dl 23>: Z f{r) =/111; Z f{r) = Z f[r\ ^ f[n -f 11. 



r=l r=l r=l 



1 « - 1 // 



/7/lM=/ll>: n f\r) = n /{r)/Ui - l). 



r=l r=I r=l 



Statt /Ir) schreibt man oft a^, br usw. Ich definiere für eine beliebige 

 deskriptive Funktion Ori 



Df. 24: rtr'" = rtr. wenn r <^ )•, und <?,"' — Or — i, wenn r ^ v ist. 

 Satz 69: 1« = 1) - (r > n) - 



[ »; ;/-l W « /1-1 \ 



- :r .7, = ./,^ z a;n\ n a^ = a^- n «;'• . 



'r=l r=l i 'r= 1 r = 1 ) 



Beweis: Ich brauche nur die Summe zu betrachten. Der Satz gilt, 



wenn n = 1 ist. Er sei gültig für //. 



Um zu zeigen, dafe er dann auch für // — 1 gilt, sei zuerst r ^ tt. 

 Dann ist 



H—\ II W — 1 



Z tir = Z Or — an~\ = rt:- "T Z rtr'" — «n — I und außerdem <?„ =a„_|. 



r= 1 r = l r = \ 



Folglich "z ar"' -f rt„-, = Z Or'*'* + fl„"' = Z a/*'* (nach Df. 24). 



r=l r=l r=l 



und daraus 



w — 1 « 



2 rtr = rtr — Jl flr • 

 r=l r=l 



Sei dagegen >• = //— 1. Dann ist <7r'" = «r für r^n. Folglich 



M - 1 // " 



2. ür = 2. (Ir — ün — i = (In — l T ^ Or • 

 r=l r-1 r=l 



Man benutzt oft die Schlufaweise, dafe eine solche Summe (oder Produkt) 

 ungeändert bleiben mué, wenn die Glieder a durch Zahlen d ersetzt werden, 

 wenn diese in irgendeiner Reihenfolge mit den a identisch sind. Um dies 

 bequem formulieren zu können, führe ich eine Aussagenfunktion lia, b\ ni, wl 

 ein. worin a und ö Zeichen zweier beliebigen deskriptiven Funktionen sind. 



Ha, ({<: 1. II = («1 = *i). Ha, b; l,//)(« > 1» falsch. 

 I{a,b\ ni, IM/;/ > 1) falsch. 



Df. 25. 



I[a,b\)n~ \.n)= Z ia^^x = by) I[a, b''' ; m, n — \\. 



r = l 



(A"'^ definiert in Df. 24). 



