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TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



in 



I [a, b; m, n) bedeutet dann in Worten: ,Die Zahlen a^ . . . Om sind i 

 irgendeiner Ordnung mit den Zahlen b^ . . . bn identisch'. 

 Satz 70: I{a, b\ ju, n) + (;;/ = ;/). 

 Beweis: Richtig wenn m = 1 ist nach Df. 25. Die Richtigkeit für ;;/ 



n 



sei vorausgesetzt. Aus Ha, b;m + \,]i] folgt 2" (a„, + i ^- br) ha, b^''^;ni, n — 1 ). 



v = \ 



I [a, //'''; ;;/, // — 1) hat aber /;/ = n — 1 zur Folge. Also /// + 1 = n. 



/ 111 II \ / ;;; n \ 



Satz 71. I[a, b;m, n) + { Z ar = 2 bA II ar - // bA. 



Beweis : Ich betrachte bloß die Summe. Zuerst folgt tn = n, und der 

 Satz gilt offenbar, wenn n = 1 ist. Er gelte für ;/— 1. Aus I{a,b;n,n) 



folgt 2" (rt,, = b.y) 1 ia, Ä'-''; // — \,n— 1). Ua, b^'^\ n—\,n—\) bewirkt 



0=1 



;/ — 1 // — 1 "—1 



aber nach der Annah:ne Z ar = 2, br-\ und aufaerdem ist bn + Z br'^^ = 



;--l r=l r=l 



= Z br (Satz 69). Aus an = bn und Z ar = Z b)^^ folgt also 



n II 



Z ar ^ Z br. 



Satz 72. I){uar,p\P[p\^ Z D[ar,p). 



Beweis : Der Satz gilt für ;/ ^ 1 ; er sei für ein gewisses ;/ gültig. 

 Aus Dia„-^^■ II r?,,/)] PI/)) folgt (Satz 52) DUhr^^ , p) + d( LI ar, p\P{ p). 



Aus D\ II ar,p\P{p) folgt nach der Annahnie Z D{ar,p). Also gilt in 



\r=l / r=\ 



II II ■ \ 



jedem Falle D(«n + !,/>) + ZD{ar,p)---~ Z D{ar,p). 



;-=l r = \ 



, II \ II « 



Satz 73. dI II pr,q] II Pipr) Piq) + Z {pr = q). 



\y =1 } r=\ r=\ 



Beweis: Nach Satz 72 bekommt man aus DJ /7 pr, q\ die Folgerung 



Z B\pr, q). Aus D(pr,q)Pipr) Piq) folgt indessen (1/),--=^) + iq -= D) PiqK 

 r=l 



;; 



also pr = Ç. Also Z {pr =-^- q). 



r = 1 



Der Satz von der Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren 



lautet jetzt: 



