RLNDLNG DER ELEMENTAREN A.-î:THV.Er;K 



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Satz 74. 11 fir + n çA ~ y P{p,\ + Z Piçs) -r Up, q; n, v\. 



\r=\ 5-1 ' r=l 5=1 



Beweis: Zuerst beweise ich den Satz für « =1. Ist (^i = /7 qAP\p^\ 



r 



II Piqs\ so folgt nach Satz 73 Z [p^ = q-A Weiter folgt aus p^ = qn 



s - I a— 1 



»•-1 r-1 



und />i ---- po n ^s**' die Gleichung 1 = /7 Oj"", was unmöglich ist. wenn 



S=l r=\ 



V >> 1 ist. 



Der Satz sei wahr für ein gewisses //. Dann folgt aus der Aussage 



( /7 Pr= n q\ n Pipr) 11 PiqslDl hqs.p^^A n P[q,)Pyp„_,l 



»• r r— I 



woraus wieder nach Satz 73 Z [p^ _ , = q^). Weiter ist U qs = qo U qt-\ 



0=\ ' ~ 5=1 ~ 1 



und man erhält deshalb 2" j /7 />, = 77 Ps-\, woraus nach der Annahme 



0=l\r=l 5=! / 



,'o». 



-T Iyp,q^\u,y—\\{p^^=q^\ = I{p,q;u^ 1. r». 

 0=1 



Ich will zuletzt einige Betrachtungen allgemeinerer Art anstellen. Man 

 hat folgenden Satz, wobei U eine beliebige Aussagenfunktion bedeutet: 



Satz 75a: U iti\ -ZU U{v\{L'{u\ — (h = v\)} 

 • = lii=l 



In Worten: Kennt man eine Zahl //. ftir welche die Aussage L wahr 

 ist, so gibt es eine kleinste Zahl, für welche U wahr ist Dabei mu6 be- 

 merkt werden, dafe die Aussagen, mit denen wir hier zu tun haben, immer 

 ohne unendlich ausgedehnte scheinbare Veränderlichen gegeben gedacht 

 werden, so daß immer im Endlichen entscheidbar ist. ob l'{x\ wahr ist 

 oder nicht bei beliebigem x. 



Beweis: Für w = 1 ist der Satz offenbar richtig. Die Richtigkeit i\vr 

 alle .v< einem gewissen // sei vorausçesetzL Ist dann L'^ti — 11 wahr. 



so ist außerdem entweder 77 C (xl wahr oder 2 C ix). Im ersteren Falle 



.r=l x=\ 



M-1 



gilt also L'[n ^ l) FI (6'«>( -r- «>■ = // — ll). Im letzteren Falle folgt aus 



' Man kann natürlich auch z. B. 



r = I M = I 

 schreiben. 



Vid-Selsk. Skrifter. I. M.-X. KL 1923. Xo. 6. 



