34 TH. SKOLEM. Tvî.-N. Kl. 



U{x){x^/i) nach der Annahme 2" // U {x){U iy) + iy = x]j ^nd also 



_v - 1 s - 1 



» + 1 V 



à fortiori 2" 77 U {i') {U{n) + (/- - r)). 

 r = 1 // = 1 



rt 6 



Satz 75b. Aus f/(«) 77 (rix) + ix = a)) U [h] II {U{v) + [y = b)) 



x=\ .v=l 



folgt a — b. 



Dieser Satz drückt die Eindeutigkeit dieser kleinsten Zahl aus. 



Beweis : Wäre a ^ b, so hätte man (rt <C '^) + (« ^ '^j. Aus a <^ b folgt 

 aber sofort U [a] und aus b <^ a ebenso U{b). 



Wegen dieser Eindeutigkeit kann man eine sehr wichtige deskriptive 

 Funktion der allgemeinen Aussagenfunktion U einführen, welche die kleinste 

 Zahl bedeutet, für die U wahr ist. Allerdings hat diese deskriptive Funktion 

 insofern einen eingeschränkten Existenzbereich, als sie keinen Wert hat, 

 wenn die Aussage U für keine Zahl wahr ist. Dabei muß aber hier betont 

 werden, dafa wir nur mit den natürlichen Zahlen bis zu einer gewissen 

 oberen Grenze, die allerdings beliebig hoch gewählt werden kann, zu tun 

 haben. Die deskriptive Funktion kann deshalb hier so bezeichnet werden : 



Min {U, >i). 



Dies bedeutet die kleinste Zahl unter den Zahlen 1 bis n, für welche U 

 wahr ist, und hat keinen Sinn, wenn i^ falsch ist für alle diesen Zahlen. 

 Wir haben also nichts mit einer Funktion Min floder Min (^, cc) zu tun, 

 welche die kleinste die Aussage U befriedigende Zahl bedeuten sollte und 

 keinen Sinn haben, falls U für jede Zahl überhaupt falsch sein sollte; denn 

 dies alles würde das „ Aktual-unendliche" fordern — also die Anwen- 

 dung scheinbarer logischer Veränderlichen mit unendlichem Ausdehnungs- 

 bereich. Die hier nötige Einschränkung der Bedeutung dieser Minimums- 

 funktion bewirkt aber keinen praktischen Schaden ; denn bei jeder An- 

 wendung des Satzes von der Existenz einer kleinsten Zahl einer Klasse 

 ganzer positiver Zahlen muf3 jedenfalls zuerst eine Zahl n dieser Klasse 

 bekannt geworden sein, und dann kann man sich eben mit der Funktion 

 Min iL/, n) begnügen. 



Endlich will ich einige Bemerkungen zum Anzahlbcgriffe machen. Wenn 

 gewisse Dinge (Zahlen, Zahlenpaare, Zahlentripel usw., deskr. Funktionen) 

 eindeutig sämtlichen Zahlen ^ einer gewissen Zahl ;/ zugeordnet werden, 

 sage ich, dafe sie in der Anzahl n vorJianden sind. 



Um zu zeigen, daß diese Zahl n eine Invariante relativ zu den ver- 

 schiedenen Zuordnungen ist, mufe man den folgenden Satz beweisen : 



