1923. No. 6. BEGRlNPLNG der ELEMENIAREN ARITHMETIK. 



;;; ;;/ 



Satz 76: Aus // // (x = y) ^ {/(xi 4= /< Vi) // (/(x)<«) 



.v=I.v=l[ ' j.v = l 



/7 — (v =/<e)) folgt /;/ = )i. f beliebige deskr. Funktion. 



In Worten : Es seien die Zahlen, die ^ /;/ sind, sämtlichen Zahlen 

 <C ;/ eineindeutig zugeordnet. Dann ist ;;/ = ;/. 



// 1 

 Beweis: Zuerst nehme ich den Fall /« = 1. Aus 11 -^ ( v = f[z)) = 



;; 



= n i\ =/(1)) folgt wegen der Eindeutigkeit von/( 1 1, da6 « = 1 sein muß. 



_v=l 



Es sei der Satz für ein gewisses ;;/ gültig. Nehme ich dann den Wert 

 ;;/ -r 1, so mufs jedenfalls ;/ ^ 1 sein. Sonst bekäme man aus // (/(xl^ l) 



.v=l 



sowohl /(11= 1 wie /(21= 1, während f[\) ^ f \2\ sein sollte. Folglich 

 können wir ;/ + 1 statt « schreiben, und es ist ;;/ = ;/ zu beweisen. 



Ill 

 Erstens sei /(;;/ -r !) = ;/+ 1. Dann ist 77 (/(xl ^ /(ni + 1)) oder 



.v=l 

 in III III 



[J {fix) ± // ^ 1). Da außerdem 11 (/(x) ^ ;; - 11, folgt // ( /ixl^//). 



.v=i " .v=i .v=r 



II — \ m — 1 )i III — \ 



— Aus /7 Z {v =/{:)) folgt 77 2" {v = /iz)) ( v ^n), das heißt 



v=l s=\ ' " .v=l s-1 



II III j \ n III 



n 2" (v=/U))-(v=/(;;/ - ll)(v</(;;/^ n) - 77 I{y=/[z\). 



y=\z=\\ ] _v=U=l 



— Kraft der gemachten Annahme muß also ;;/ = ;/ sein. 



Zweitens sei /(;;/ + 1) = r ■< ;/ + 1. Nach der Voraussetzung 

 «—1 III ^ 1 III— 1 III 



H I {y =/(el) hat man I (;/ + 1 =/ù)) oder 2 (;/ - 1 =/(//)) + 



V=l 2=\ ' Z= 1 "=1 



;;; 



+ (« ^ 1 =/(;;/- 11). d.h. Z {n - \ =/{u)). Die Zahl u ist hier ein- 



.» = 1 

 deutig bestimmt. Dann führe ich eine neue deskr. Funktion / ein, die so 



definiert ist: 



/'(.vi =/(xl wenn x ± // und ^ /;/ ist. Weiter /' (//) =/(w/ + 1) = r; 

 /'(/;/ -f 1) =/(/<! = n — 1. Man braucht dann nur zu zeigen, dafa /' den- 

 selben Bedingungen wie / genügt. 



Aus (/(xl^;/ -f l)(x i: /<l(.r^///) folgt /' (.vi ^« -r I. da in diesem 

 Falle /' (xl =/(.vl. Außerdem sind offenbar/' («) und/' (w/l beide ^ « + I. 



;;; - 1 



Also 77 (/' (.vi ^ // - 1 ). 



.v=l 



