36 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



m + 1 til + 1 ;;; + 1 



Aus 2" {x= f{y))[o\gi S (x =/fjv))(_v + //)( y^w) + S {x=f{y)) 

 y=\ .V = 1 _v = 1 



111+ 1 

 (( V = iJi) + (y -= m + \ ]), woraus 2 (x =-/' ( v)) + {x -- /' {/;? + 1)) + 



y=\ 



ni-\- \ ?7 + 1 ;« + 1 



+ (x=/(/y))=- 2^ (x=/(v)). Also folgt aus // 2" (x =/(v)) auch 



« ^ 1 ;« + 1 



.v=l _v=l 



tu ^ 1 «? )- 1 



Nach der Voraussetzung gilt /7 Z {{x = y) + (/(x) ^ /"(Vi)). Hat 



.v = l j/=l 



man(/(x) -i^ f{y)){x ^ ii)(x^m){y ^ f.(){y^ni), so folgt sofort/' (x) ^ /' [y). 

 Hat man {fix) t f{y)) ((x = «) + (x = ;;/ + {)) [y ^ n) [y ^ ///), so gilt 

 {(/U)=/(«))+ {f{x)^ f[w -V \))]-{f(y)=f' {y]){f[y]^ f{n)){f{y)^ f(,u^ \)) 

 und folglich /' (X) i: /' (>'). Ebenso wenn {f[X]-^f[y){X = n)-{x^m) 

 {{y = /t) + (>' = ni)). Zuletzt gibt (/(X) # f(y)) ((X = //) + U - ;« + 1)) 

 {{y = fi) + iy ^ 111 + 1) die Folgerung {x = jn){y = m + 1) + (JC = ;;/ + 1) 

 iy = /1) und also auch (/' \X) ^ /im + 1)) (/' iy) =/(/<)) + (/ ix) = /(/<)) 



» + 1 ;;/+ 1 



{f'iy)=/i"'+ D) und folglich f'ix) ^/iy). Die Aussage 11 11 {ix==y) + 

 + (/' (x) 4: /' iy))) ist also richtig. 



Anmerkung: Wenn eine Klasse gewisser Objekte gegeben ist, wird 

 man versucht sein zu sagen : Dafs diese Dinge in der endlichen Zahl // 

 vorkommen, bedeutet, dafa eineindeutige Zuordnung dieser Dinge und der 

 n ersten Zahlen existiert. In dieser Definition kommt aber eine scheinbare 

 logische Veränderliche vor (die Zuordnung), und es ist à priori keine Ein- 

 schränkung des Variationsbereichs dieser Veränderlichen auf das Endliche 

 gegeben, wenn man nicht schon im voraus einen Satz hat, der aussagt, 

 daß die Anzahl der möglichen Zuordnungen eine endliche ist. Auf dem 

 hier gegebenen streng finitistischen Standpunkte mufa also ein solcher Satz 

 zuerst bewiesen sein, damit man den Anzahlbegrifif für die betreffenden 

 Dinge definieren kann. Dies scheint ein circulus vitiosus zu sein ; es ist 

 aber nicht so. Man braucht nämlich nicht die obige allgemeine Definition 

 des Anzahlbegriffs, um einen speziellen Satz aufzustellen, der aussagt, dafa 

 gewisse Objekte in der Anzahl n vorkommen ; denn ein solcher Satz läfet 

 sich eben dadurch aufstellen, dafä man eine Zuordnung -wirklich angibt; 

 hierdurch wird die Zuordnung als logische Veränderliche vermieden. Man 

 kann also auch in den erwähnten Fällen zuerst einen speziellen Satz über 

 die Endlichkeit der Anzahl der überhaupt möglichen Zuordnungen und 

 nachher die allgemeine Definition des Anzahlbegriffs für die Klassen der 

 Dinçe aufstellen. 



