IQ2 3. X:. 6. BEGRCNDUNG der elementaren ARITHMETIK. 



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Die Anzahl der ganzen positiven Zahlen, welche ^ « und einer ge- 

 gebenen Klasse angehören, lä6t sich allgemein durch eine in folgender 

 Weise detinierbare Funktion angeben. 



Es sei C eine beliebige Aussagenfunktion; ich setze: 



Df. 26. {NU{1)= 1 ) 6'( n + (.V i[\) = 0«) nÜ und {\ i'in + l) = 

 = A'riwl ^ \) i'in -i- 1) -r {XCin + l) = N L'in)) C in - I). 



In Worten : Die deskriptive Funktion \ L' \x) soll für X — 1 den Wert 

 1 oder haben, je nachdem L'{\) wahr ist oder nicht. Weiter soll 

 \ Cui — 1) = X L'{n) -}- 1 oder = A't'l«) sein, je nachdem L'[n -~ II 

 wahr ist oder nicht. 



Es ist leicht zu zeigen, daß \ i'in) dann in der Tat die Anzahl der 

 Zähen .V ^ ;/ angibt, für die U\X) wahr ist. Ich gehe hier nicht näher 

 darauf ein. 



Es wird oft vorkommen, da6 gewisse Dinge mit ganzen Zahlen 

 numeriert sind, aber so, daß jedem Dinge mehrere Zahlen als Indizes zuge- 

 ordnet sind. Die Anzahl der verschiedenen unter ihnen läßt sich dann mit 

 Hilfe einer Funktion Tix) angeben, die ich hier definiere. 



Die Dinge seien a^ . . . a^: es werde gesetzt: 



Df. 27. T\{\= \AT\r - \\= T{r)\l Z Iflr-i = «sM ^ 



- j T\r - II = rir) + 1 J /7 («r^, ± a,). 



Weiter läfit sich mit Hilfe der Seite 34 definierten Funktion MinJt',//) 

 eine eindeutig bestimmte Auswahl eines vollständigen Repräsentantensystems 

 verschiedener Dinge a angeben. Außerdem können die zugehörigen Häufig- 

 keitszahlen, die angeben, wie oft jedes verschiedene Ding in der Reihe 

 q^ ... On auftritt, definiert werden usw. Ich will dies hier nicht näher 

 ausführen. 



Schlussbemerkung. 



Diese Arbeit ist während des Herbstes 1919 geschrieben, nachdem 

 ich die Arbeiten von Russell & Whitehead studiert hatte. Es fiel mir 

 ein. da6 schon die Anwendung der von ihnen genannten „wirklichen" 

 logischen \'eränderlichen hinreichend sein müfete, um jedenfalls grobe Teile 

 der Mathematik zu begründen. (Dabei mufä also bemerkt werden. da6 schein- 

 bare \'eränderliche mit endlicher Ausdehnung mittels rekurrierender Defini- 

 tionen weggeschafft werden können). Die Berechtigung der Einführung 

 scheinbarer \'eränderlichen mit unendlichem Variationsbereich erscheint des- 



' Streng genommen ist die Zahl hier nicht eingeführt worden ; man kann aber verein- 

 baren, dafi die .\nzahl bedeuten soll, daé keine .Dinge* vorhanden sind. 



