TRYGVE NAGELL. 



M.-N. Kl. 



. y =:= U--(\ +/e + gB) + Vd + IVS (3) 



mit o-anzen rationalen //, v, iv ist dann und nur dann eine Einheit, wenn 



ist, wo wir n = x, fn + 3î' = j und gu + 3 zu = z gesetzt haben. Ist )] 

 positiv, so mufs in (2) und (4) das obere Zeichen genommen werden, weil 

 }y'?y" positiv ist. 



Wir wollen uns im folgenden besonders mit der Frage beschäftigen: 

 Unter welchen Bedingungen gibt es in einem Körper K\B\ Einheiten von 

 der Form c + a9 mit rationalen a und c? Dann müssen a und c ganz sein; 



denn ist K {9} von zweiter Art, und ist in (3» —gu + a- = 0, so mufs // 



durch 3 teilbar sein, weil g es nicht ist. 



Eine positive Einheit von der Form i] = c + a6 ist immer <C 1 ; denn 

 wegen c^ + Da^ = 1 , ist 



1 = c2 — acö + «2^2 ^1 + ö + ö2 > 3 , 

 V 



weil ac negativ ist. 



Ist nun I die Fundamentaleinheit, und also <C s "^C 1 , und ist 



^r^ = f = c -^ aB, (5) 



so mufe folglich n positiv sein. Hat man jeden Wert von n gefunden, für 

 welchen diese Gleichung gilt, so hat man natürlich die unbestimmte Gleichung 



;^3 ± J)yi ^ X (6) 



vollständig in ganzen (rationalen) Zahlen x,y gelöst. 



Unser Hauptresultat (in § 3) ist das folgende: 



Es gibt höchstens eine positive (von 1 verschiedene) Einheit von der 

 Form c + aS . 



Die Gleichung (6) hat also höchstens eine Lösung in ganzen Zaidcn 

 jc, y mit jv 4^ 0. 



