1923- No. II. ÜBER DIE EIXHEITE.N' IN REINEN KUBISCHEN Z.\HLKÖRPERN. 



§1. 



Beweis eines Hilfssatzes. 



In einer früheren Arbeit' habe ich den folgenden Satz bewiesen: 

 Hilfssatz I. Es sei D eine kubiisfreic^ ganze rationale Zahl ^> 1. 



Es seien ferner a und c zwei ganze rationale Zahlen, so daß c und aD 



teilerfremd sind. Dann ist in 



z 3 3 



{c ^ a\D)" = C ^ B\D ^ A{\Df 



mit rationalen Koeffizienten A, B, C, und ganzzahligem «^ I, sowohl A 

 wie B von Xull verschieden, wenn icir i'on den folgenden 2 Fällen absehen: 



3 _ 3 



(VlO — 1)^ = 99 — 45U0, 

 3 3 



{\A — 1)^ = — 15 + \2\Y . 



Zu diesem Resultat fügen wir hier das folgende: 



Hilfssatz II. Es seien D^ und Do zwei kubusfreie ganze rationale 

 Zahlen, die beide ^ 1 sind. Es seien ferner a und c zwei ganze rationale 

 Zahlen, so daß aD^ und cDo teilerfremd sind. Dann ist in 



{,a\D^+ c\ A) =-- C + 5 VA A"' + ^ VA' A 



mit rationalen Koeffizienten A, B, C, und ganzzahligem n > 0, sowohl A 

 'wie B von Null verschieden, mit der einzige)! Ausnahme 



(\? — V2 f = — 1 7 1 + 63 1 2Ö- 



Beweis: a und c müssen offenbar entgegengesetztes Vorzeichen haben. 

 Es genügt zu beweisen, daß A von Null verschieden ist. Wir nehmen 

 also an, dafs 



^'^^c^'-'cDr' + i^'^^a^'-'c'Dr'D, + + (3/^ 2)^' ''""'^•^""' ^ ^" ' 



' Vollständige Lösung einiger unbestimmten Gleichungen dritten Grades. Videnskaps- 

 selskapets Skrifter, math.-naturv. klasse, Kristiania 1922, no. 14. 



Ich benutze hier die Gelegenheit eine Ungenauigkeit in dieser Abhandlung zu be- 

 richtigen. In Formel (7), Seite 6, muß in den Nenner der Faktor 3^ + 5 hinzugefügt 

 werden. Da aber 5 '^ ]> 5 (3/fe + 5) ist, für alle >t ^ 2, bleibt der folgende Be- 

 weis gültig. 



2 Wir nennen eine ganze Zahl kubusfrei, wenn sie durch keine dritte Potenz einer Prim- 

 zahl teilbar ist. 



